1. Teoria dei Gruppi

1.1 Definizioni Preliminari

Monoide

Gruppo

Sia $G$ un insieme e $\ast :G\times G\to G$ una funzione binaria. Esso si dice gruppo se:

1. $\forall x,y,z\in G:(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ (associatività)
2. $\exists e\in G|\forall x\in G:x\ast e=e\ast x=x$ (elemento neutro)

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Gruppo

Gruppo

Sia $G$ un insieme e $\ast :G\times G\to G$ una funzione binaria. Esso si dice gruppo se:

1. $\forall x,y,z\in G:(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ (associatività)
2. $\exists e\in G|\forall x\in G:x\ast e=e\ast x=x$ (elemento neutro)
3. $\forall x\in G:\exists x^{\prime }\in G|x\ast x^{\prime }=e=x^{\prime }\ast x$ (inverso)

Se vale la proprietà commutativa: $\forall x,y\in G:x\ast y=y\ast x$ allora tale gruppo si dice abeliano

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Sottogruppo

Sottogruppo

Sia $G$ un gruppo, e $H\subseteq G$. Esso si dice sottogruppo se:

1. $\forall x,y\in H:x\cdot y\in H$, cioè $H\cdot H\subseteq H$
2. $1\in H$
3. $\forall x\in H:x^{-1}\in H$, cioè $H^{-1}\subseteq H$

Notazione: se $H$ è sottogruppo di $G$ si scrive $H<G$

Osservazione $H\ne \varnothing$ allora le proprietà 1. e 3. implicano la 2. $H\ne \varnothing ⟹\exists x\in H\stackrel{3.}{⟹}\exists x^{-1}\in H\stackrel{1.}{⟹}1=x\cdot x^{-1}\in H$

Se

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Caratterizzazione dei Sottogruppi

Caratterizzazione dei Sottogruppi

Sia $(G,\cdot )$ un gruppo e sia $H\subseteq G,H\ne \varnothing$.
Allora vale la seguente equivalenza:

1. $(H,\cdot )$ è sottogruppo
2. $\forall x,y\in H:x\cdot y^{-1}\in H$

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Gruppo Generale Lineare

Gruppo Generale Lineare

L’insieme $G{L}_n(K)=\{A\in M_n(K)|\det (A)\ne 0\}$ è chiamato Gruppo Generale Lineare.
Tale Insieme, munito del prodotto righe per colonne $\cdot$ è un gruppo.
É isomorfo al gruppo $(Au{t}_K(V),\circ )$, ossia il gruppo degli automorfismi invertibili su uno spazio vettoriale di dimensione $n$.

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1.1 Classi Laterali

Classi Laterali

Classi Laterali

Sia $(G,\cdot )$ un gruppo e $H\subseteq G$ un suo sottogruppo.
Considerato $g\in G$, l’insieme $gH=\{gh|h\in H\}$ è chiamata classe laterale (o coset) sinistra di $H$ definita da $g$.
La classe laterale destra è l’insieme $Hg=\{hg|h\in H\}$
Risulta che per lo stesso $g\in G$, la classe laterale destra e sinistra non sempre coincidono: $g\cdot H\ne H\cdot g$
Inoltre $g\in g\cdot H$ e $g\in H\cdot g$ e le classi laterali distinte sono disgiunte, mentre la loro unione è $G$ stesso.
Quindi le classi laterali sono delle classi di equivalenza

Se si usa la notazione additiva e il gruppo è abeliano, allora le classi laterali si indicano:
$x+Hx\in H,H<G$
e dalla proprietà commutativa risulta che $x+H=H+x$.

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Esempio di Classi Laterali

Esempio di Classe Laterale

Considero il gruppo ${\mathcal{S}}_3=\{f:\{1,2,3\}\to \{1,2,3\}|f\text{ eˋ bigettiva}\}$ e il sottogruppo $H=\{id,(1,2)\}$.
I laterali sinistri di $H$ sono:

• $id\cdot H=H$;
• $(1,2)\cdot H=H$;
• $(2,3)\cdot H=\{(2,3),(1,3,2)\};$
• $(1,3)\cdot H=\{(1,3),(1,2,3)\};$
• $(1,2,3)\cdot H=\{(1,2,3),(1,3)\}=(1,3)\cdot H;$
• $(1,3,2)\cdot H=\{(1,3,2),(2,3)\}=(2,3)\cdot H.$

Classi laterali destre:

• $H\cdot id=H=\{id,(1,2)\};$
• $H\cdot (1,2)=\{(1,2),id\}=H;$
• $H\cdot (1,3)=\{(1,3),(1,3,2)\};$
• $H\cdot (2,3)=\{(2,3),(1,2,3)\};$
• $H\cdot (1,2,3)=\{(1,2,3),(2,3)\}=H\cdot (2,3);$
• $H\cdot (1,3,2)=\{(1,3,2),(1,3)\}=H\cdot (1,3).$

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Congruenza Sinistra e Destra

Congruenza Sinistra e Destra

Sia $G$ un gruppo e $H<G$ un sottogruppo.
Definisco le relazioni binarie ${\rho }_d,{\rho }_s$ tali che $\forall x,y\in G$:
$x{\rho }_{s}y\stackrel{def}{⟺}{y}^{-1}\cdot x\in H$ ossia $x\cdot H=y\cdot H{y}^{-1}\cdot x\cdot H=H$
$x{\rho }_{d}y\stackrel{def}{⟺}x\cdot y^{-1}\in H$ ossia $H\cdot x=H\cdot yx\cdot y^{-1}\cdot H=H$
Tali relazioni prendono il nome di congruenza destra e sinistra definite da $H$ in $G$

Proposizione

Risulta che la congruenza è una relazione di equivalenza

Dim

• Riflessiva:
  $\forall x\in G:x{\rho }_{s}x⟺x^{-1}x=1\in H;$
• Simmetrica:
  $x{\rho }_{s}y⟹y^{-1}x\in H\stackrel{H^{-1}\subseteq H}{⟹}(y^{-1}x{)}^{-1}=x^{-1}y\in H⟹y{\rho }_{s}x$
• Transitiva:
  Supponiamo $x{\rho }_{s}y\wedge y{\rho }_{s}z$.
  $x{\rho }_{s}y⟹y^{-1}x=h\in H$
  $y{\rho }_{s}z⟹z^{-1}y=g\in H$
  $z^{-1}x=z^{-1}(y{y}^{-1})x=(z^{-1}y)(y^{-1}x)=gh\in H$

Risulta inoltre che
$y\in [x{]}_s⟺y{\rho }_{s}x⟺x^{-1}y=h\in H⟺y=xh⟺y\in xH$

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Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange

Sia $(G,\cdot )$ un gruppo finito e $H<G$ un sottogruppo.
Allora $|H|$ divide $|G|$.

Dimostrazione

Sia $G=g_{1}H\cup \cdots \cup g_{k}H$ la partizione di $G$ ottenuta mediante le classi laterali sinistre distinte, cioè:
$g_{i}H\cap g_{k}H=\varnothing \forall i\ne j$
Allora $|G|=|g_{1}H|+\cdots +|g_{k}H|$.
Dimostriamo che $|g_{1}H|=\cdots =|g_{k}H|=|H|$:
Costruiamo la funzione
\begin{align} \varphi:H\to g_{i}H \\ h\longmapsto g_{i}h \end{align}
Osservo che $\phi (h)=\phi (h^{\prime })⟹g_{i}h=g_i{h}^{\prime }⟹h=h^{\prime }$, dunque la mappa è iniettiva.
La funzione inoltre è suriettiva per definizione di classe laterale, dunque $\phi$ è biettiva.
Dunque $|H|=|g_{i}H|⟹|G|=k\cdot |H|$

Osservazione

Abbiamo dimostrato che tutti i sottogruppi di un gruppo $G$ finito hanno ordine che sia divisore di $|G|$.
Ma non è detto che ad ogni divisore di $|G|$ corrisponde un sottogruppo avente come ordine tale divisore.
Ad esempio $A_4$, il gruppo alterno di $S_4$ ha ordine
$|A_4|=\frac{|S_4|}{2}=\frac{4!}{2}=12$

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Indice di un Sottogruppo

Indice di un sottogruppo

Sia $G$ gruppo e $H<G$ un sottogruppo.
Il numero di classi laterali definite da $G$ su $H$ si indica con $(G:H)$.
Se $G$ è finito, allora $(G:H)=\frac{|G|}{|H|}$; se $G$ è infinito, allora il numero di cosets potrebbe essere infinito.
$(G:H)$ si chiama indice di $H$ in $G$
Osservo che l’indice di $G$ è $(G:\{1\})$

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Proposizione su Gruppi Finiti

Proposizione

Sia $G$ un gruppo finito. Per ogni $x\in G$ si ha: $|x|$ divide $|G|$

Proposizione

I gruppi di ordine $p$ primo sono ciclici e isomorfi a ${\mathbb{Z}}_p$

Dim

Sia $G$ un gruppo tale che $|G|=p$ primo. Allora $\exists x\ne 1$ (poiché $p\ge 2$). Poiché $|x|=p$ divide $|G|$ allora $p=|G|=|{\mathbb{Z}}_p|$, cioè $G=⟨x⟩$

Proposizione

Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$. Allora $\forall x\in G:x^n=1$

Dim

Sia $x\in G$, allora $|x|=k$ è divisore di $|G|=n$, cioè $\exists g\in \mathbb{Z}|n=k\cdot g$.
Allora $x^n=x^{kg}=(x^k{)}^g=1^g=1$

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Funzione di Eulero

Funzione di Eulero

La funzione $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ che associa ad ogni numero $n\in \mathbb{N}$ la quantità di numeri primi minori di $n$
$\phi (n)=\#\{k\in \mathbb{N}|k<n\vee k\text{ eˋ coprimo a }n\}=|\mathcal{U}({\mathbb{Z}}_n)|$
Si dimostra che se $p$ è primo, $\phi (p)=p-1$
Se $k=mn$ con $m,n$ coprimi, allora $\phi (k)=\phi (mn)=\phi (n)\cdot \phi (m)$
$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$
Questa proprietà è conseguenza del Teorema Cinese del Resto
Ad esempio $\phi (2)=\#\{1\}=1,\phi (3)=\#\{1,2\}=2,\phi (4)=\#\{1,3\}=2$

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Teorema di Eulero

Teorema di Eulero

Considero $\phi$ la funzione di Eulero e siano $a,n$ due numeri interi.
Risulta che $a^{\phi (n)}\equiv 1\text{ mod }n$

Dim

Consideriamo l’insieme degli elementi unitari di ${\mathbb{Z}}_n$, ossia $\mathcal{U}({\mathbb{Z}}_n)=G$.
Dunque $|G|=|\mathcal{U}({\mathbb{Z}}_n)|=\phi (n)$.
Se $a,n$ sono coprimi, allora $[a{]}_n\in G⟹{\left[a^{\phi (n)}\right]}_n=[a{]}_n^{\phi (n)}=[1{]}_n$.

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Teorema di Moltiplicazione degli indici

Teorema di Moltiplicazione degli indici (Teorema di Lagrange Generalizzato)

Sia $G$ un gruppo finito. Se $K<H<G$, allora:
$(G:K)=(G:H)(H:K)$
Nel caso finito si ha:
$\frac{|G|}{|K|}=\frac{|G|}{|H|}\cdot \frac{|H|}{|K|}$

Dim

Considero $G$ come $\bigcup g_{i}H$ unione disgiunta di classi laterali. Inoltre si può considerare $H=\bigcup h_{j}K$.
Pertanto risulta che: $G=\bigcup _{i,j}{g}_i{h}_{i}K$ unione disgiunta.
Quindi le classi laterali di $K$ in $G$ sono del tipo $g_i{h}_{i}K$

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Sottogruppo Normale

Sottogruppo Normale

Sia $G$ un gruppo e $H<G$ un suo sottogruppo.
Esso si dice normale se $\forall g\in G:gH=Hg⟺gH{g}^{-1}=G$ e si denota $H⊲G$
Se un sottogruppo è normale, allora posso valutare un’espressione del tipo:
$x\equiv y\text{ mod }H$

Esempio

Considero $G=({\mathbb{Z}}_6,+)$ e il suo sottogruppo $H=⟨[2{]}_6⟩=\{[0{]}_6,[2{]}_6,[4{]}_6\}=\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}$
$\overline{0}+H=\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}=H$
$\overline{1}+H=\{\overline{1},\overline{3},\overline{5}\}$
$\overline{2}+H=H$
$\overline{3}+H=\overline{1}H$
$\overline{4}+H=H$
$\overline{5}+H=\overline{1}H=\overline{3}H$
Otteniamo 2 classi laterali, infatti $(G:H)=\frac{|G|}{|H|}=\frac{6}{3}=2$

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Condizione necessaria e sufficiente per la normalità di un sottogruppo

Condizione necessaria e sufficiente per la normalità di un gruppo

Sia $G$ gruppo e $N<G$ sottogruppo.
Allora $N⊲G⟺gN{g}^{-1}\subseteq N\forall g\in G$

Dim

Supponiamo che $N⊲G$, allora $gH{g}^{-1}=H\forall g\in G$.
Viceversa, posto $g\in G$ $gN{g}^{-1}\subseteq N⟹N\subseteq g^{-1}Ng$.
Scambiando il ruolo di $g$ e $g^{-1}$, ottengo $N\subseteq gN{g}^{-1}\subseteq N⟹N=gN{g}^{-1}$ da cui $N⊲G$.

Osservazione

Da questo teorema risulta dunque che basta dimostrare:
$gh{g}^{-1}\in H\forall g\in G,\forall h\in H$ oppure che $\forall g\in G,\forall h\in H:\exists h^{\prime }\in H|gh=h^{\prime }{g}^{-1}$.

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Ogni sottogruppo di indice 2 è normale

Proposizione

Ogni sottogruppo di indice 2 è normale

Dim

Supponiamo $H<G$ di indice 2, dunque ha 2 classi laterali. Supponiamo $g\notin H$.
Allora $gH\ne H$, da cui $H=H\cup gH$. Similmente $H=H\cup Hg$, da cui $gH=Hg$.

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1.3 Gruppi Diedrali

Gruppi Diedrali

Gruppi Diedrali

Il gruppo diedrale può essere considerato come il gruppo di riflessioni e rotazioni simmetriche di un poligono regolare di $n$ lati.
È definito come ${\mathcal{D}}_n=\{\sigma \tau |{\sigma }^n=1,{\tau }^2=1,\tau \sigma {\tau }^{-1}={\sigma }^{-}1\}=\{1,\sigma ,{\sigma }^2,\dots ,{\sigma }^{n-1},\tau ,\tau \sigma ,\tau {\sigma }^2,\dots ,\tau {\sigma }^{n-1}\}$
Risulta dunque che $|{\mathcal{D}}_n|=2n$
Possiamo rappresentare $\sigma$ e $\tau$ in forma matriciale:

\cos \left( \frac{2\pi}n{} \right) & -\sin\left( \frac{2\pi}n{} \right) \
\sin\left( \frac{2\pi}n{} \right) & \cos \left( \frac{2\pi}n{} \right)
\end{bmatrix}\qquad\tau=\begin{bmatrix}
1 & 0 \
0 & -1
\end{bmatrix}$$

Gruppi normali di ${\mathcal{D}}_n$

Consideriamo l’insieme $⟨\sigma ⟩=\{1,\sigma ,\dots ,{\sigma }^{n-1}\}$
Osserviamo che $({\mathcal{D}}_n:⟨\sigma ⟩)=2$, dunque per l’osservazione precedente tale sottogruppo è normale.
Tale sottogruppo non è l’unico normale, infatti tutti i sottogruppi $⟨{\sigma }^k⟩$ sono normali:
${\sigma }^i\tau {\sigma }^k\tau {\sigma }^{-i}={\sigma }^i{\sigma }^{-k}{\sigma }^{-i}={\sigma }^{-k}$
Invece, per $n>3$ osserviamo che il gruppo $⟨\tau ⟩=\{1,\tau \}$ non è normale, in quanto:
$\sigma \tau {\sigma }^{-1}=\sigma \tau (\tau \sigma {\tau }^{-1})={\sigma }^2{\tau }^{-1}={\sigma }^2\tau \notin ⟨\tau ⟩$

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1.4 Gruppi Semplici

Gruppi Semplici

Gruppi Semplici

Un gruppo $G$ si dice semplice se i suoi sottogruppi normali sono solo $\{1\}$ e $G$

Esempio

Il gruppo $A_5$ è semplice, ma ammette sottogruppi non normali. In generale $A_n$ con $n>5$ sono semplici

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I gruppi semplici sono ciclici di ordine primo

Proposizione

I gruppi semplici sono tutti e soli gruppi ciclici di ordine primo.

Dim

Supponiamo che $G$ sia di ordine $p$ primo. Allora i suoi sottogruppi hanno ordine $p$ e $1$, rispettivamente $G$ e $\{1\}$. Poiché $G$ è abeliano, allora i suoi sottogruppi sono tutti
Viceversa supponiamo che $G$ ammetta solo i sottogruppi $\{1\}$ e $G$. Allora $G$ ha ordine primo, per cui è un gruppo ciclico e quindi abeliano. Dunque i suoi sottogruppi sono normali, da cui $G$ semplice.

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1.5 Relazione di Coniugio

Relazione di Coniugio

Relazione di Coniugio

Sia $G$ un gruppo. La relazione di coniugio è definita:
$x\sim y⟺\exists g\in G|y=gx{g}^{-1}$

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Classi di Coniugio

Classi di Coniugio

Considerata la relazione di coniugio su un gruppo $G$, di dimostra che è una relazione di equivalenza. Pertanto è possibile considerare le classi di equivalenza:
$[h{]}_{\sim }=\{y\in G|\exists g\in G:y=gh{g}^{-1}\}$
E si denota con $Cl(h)$

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Relazione tra Sottogruppi normali e Classi di Coniugio

Osservazione

Si osserva che:
$H$ è sottogruppo normale $⟺\{\begin{array}{ll}H& \text{sottogruppo}\\ H& \text{unione disgiunta di classi di coniugio}\end{array}$
Non è detto che le classi di coniugio abbiano tutte la stessa cardinalità, come per le classi laterali, non è detto inoltre che una qualsiasi unione di classi di coniugio costituisca un sottogruppo
Nel gruppo delle matrici quadrate invertibili, la relazione di coniugio è la similitudine tra matrici.
Per quanto riguarda invece i gruppi di permutazioni, verrà dimostrato che due permutazioni sono coniugate se hanno la stessa struttura ciclica.

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1.6 Relazione di Congruenza

Congruenza

Congruenza

Sia $N⊲G$ un sottogruppo normale. Allora risulta che la congruenza sinistra e destra coincidono (${\rho }_s={\rho }_d=\rho$) e prendono il nome di congruenza$\text{ mod }N$, cioè una relazione di equivalenza compatibile con l’operazione di $G$.
Dunque $x\rho y⟺x\equiv y\text{ mod }N$
Per dimostrare che $\rho$ è compatibile con l’operazione di $G$, dobbiamo verificare che
$x\rho x^{\prime }\wedge y\rho y^{\prime }⟹xy\rho x^{\prime }{y}^{\prime }$
ossia che $xN=x^{\prime }N\wedge yN=y^{\prime }N⟹xyN=x^{\prime }{y}^{\prime }N$
Ricordando che le classi laterali destre e sinistre coincidono per la normalità di $N$:
$\underline{xyN}=x(yN)=x(Ny)=x(N{y}^{\prime })=(xN)y^{\prime }=x^{\prime }N{y}^{\prime }=\underline{x^{\prime }{y}^{\prime }N}$.

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Insieme Quoziente dei Laterali

Insieme Quoziente dei Laterali

Considerata la relazione di congruenza, si possono considerare le sue classi di equivalenza e dunque l’insieme quoziente.
Dato un gruppo $G$ e un suo sottogruppo normale $N$, si indica l’insieme quoziente dei laterali con $G/N$.
Poiché la congruenza è compatibile con l’operazione d’insieme, quest’ultima si può estendere agli elementi dell’insieme quoziente:
$[x]\cdot [y]=[x\cdot y]$ in quanto $xN\cdot yN=xyN$.
Risulta inoltre che $G/N$ ha struttura di gruppo, quindi prende il nome di Gruppo Quoziente modulo $N$

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