Proposizione
I gruppi semplici sono tutti e soli gruppi ciclici di ordine primo.
Dim
Supponiamo che sia di ordine primo. Allora i suoi sottogruppi hanno ordine e , rispettivamente e . Poiché è abeliano, allora i suoi sottogruppi sono tutti
Viceversa supponiamo che ammetta solo i sottogruppi e . Allora ha ordine primo, per cui è un gruppo ciclico e quindi abeliano. Dunque i suoi sottogruppi sono normali, da cui semplice.