1. Topologia

1.1 Definizione di Topologia

Topologia

Topologia

Sia $X$ un insieme e $τ \subseteq P (X)$ una famiglia di sottoinsiemi di $X$ con le seguenti proprietà:

$\emptyset \in τ$ e $X \in τ$

La famiglia $τ$ è chiusa rispetto all’unione, ossia $\forall A, B \in τ : A \cup B \in τ$ , e più in generale, data ${U_{j}}_{j \in J}$ tale che $\forall j \in J : U_{j} \in τ$ si ha $i \in J ⋃ U_{j} \in τ$

Dati $A, B \in τ$ si ha che $A \cap B \in τ$
$τ$ è chiamata topologia

Definizione di Spazio Topologico

Dati $X$ e $τ$ , $(X, τ)$ è chiamato spazio topologico

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1.2 Esempi di Topologie

Topologia Discreta

Topologia Discreta

Dato $X$ , la sua topologia discreta è $τ = P (X) \cup {\emptyset}$

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Topologia Banale

Topologia Banale

Dato $X$ , la sua topologia banale è $τ = {X} \cup {\emptyset}$

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Topologia Cofinita

Topologia Cofinita

Dato $X$ , la sua topologia cofinita è $τ = {X} \cup {\emptyset} \cup {U_{j} ∣ U^{C}$ è sottoinsieme finito di $X}$

Dim

Dimostro che $τ = {X} \cup {\emptyset} \cup {U_{j} ∣ U^{C}$ è un sottoinsieme finito di $X}$ è una topologia su $X$ .

$\emptyset, X \in τ$

Sia $U_{j}_{j \in J}$ una famiglia di elementi non banali di $τ$ . Allora $\forall j \in J : ∣ U_{j}^{C} ∣ < + \infty$ .
Grazie alla prima Formula di De Morgan si ha che
$j \in J ⋃ U_{j} = j \in J ⋂ (U_{j}^{C}) \subseteq U_{j}^{C}$
$⟹ j \in J ⋃ U_{j} \leq U_{j}^{C} < + \infty$
Dunque l’unione dei $U_{j}$ è un aperto di $τ$

Siano $A, B \in τ ⟹ ∣ A^{C} ∣ < + \infty$ e $∣ B^{C} ∣ < + \infty$ .
Dunque $∣ (A \cap B)^{C} ∣ = ∣ A^{C} \cup B^{C} ∣ = ∣ A^{C} ∣ + ∣ B^{C} ∣ < + \infty$

Esempio

In $(R, τ_{cof})$ , gli aperti sono del tipo $R ∖ {p_{1} \dots p_{k}}$

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Topologia Euclidea

Topologia Euclidea $E$

La topologia euclidea (o standard) su $R$ è:
$E = {U \subseteq R ∣\exists {(a_{i}, b_{i})}_{i \in I}, t.c U = ⋃_{i \in I} (a_{i}, b_{i})}$

Base di $E$

Una base per la topologia euclidea è $β = {(a, b) ∣ a, b \in R, a < b}$

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Topologia del Limite Inferiore

Topologia del Limite Inferiore $τ_{ℓ}$

Si può definire su $R$ la seguente Topologia
$τ_{ℓ} = {U \subseteq R ∣\exists {[a_{i}, b_{i})}_{i \in I}, t.c U = ⋃_{i \in I} [a_{i}, b_{i})}$

Gli elementi della topologia $τ_{ℓ}$ sono sia aperti che chiusi.

Base della topologia $R_{ℓ}$

La base di $R_{ℓ}$ è $β = {[a, b) ∣ a, b \in R, a < b}$

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Esempio di NON topologia

Sia $τ = {X} \cup {\emptyset} \cup {[- a, a] ∣ a \in R^{+}}$
Considero la famiglia di elementi ${[- 1 + \frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}]}_{n \in N}$ .
Si ha che $⋃_{n \in N} [- 1 + \frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}] =] - 1, 1 [\neq \in τ$

Topologia con Seno

Definizione

$τ = {U \subseteq τ ∣\forall x \in U : sin x > 0} \cup {R}$
Dove $τ_{0}$ è la topologia indotta dalla distanza euclidea $d (x, y) = ∣ x - y ∣$ .
Tale insieme è Topologia su $R$

Dim

$R \in τ_{0}, \emptyset \in τ_{0}$

Sia ${U_{i}}_{i \in I}$ . Risulta che:
a. Se tutti gli $U_{i}$ sono vuoti allora $\forall x \in ⋃_{i \in I} U_{i} : sin x > 0 ⟹ ⋃_{i \in I} U_{i} \in τ_{0}$
b. Se $\exists i \in I ∣ U_{i} = R$ allora vale la 2
c. Se $\forall i \in I : U_{i} \neq = R$ e $\forall x \in U_{i} sin x > 0$ allora vale la 2 poiché $U = ⋃ U_{i} \in τ_{0}$ e $\forall x \in U sin x > 0 ⟹ U \in τ$

Siano $A, B \in τ_{0}$ .
a. Se $A = R ⟹ A \cap B = B ⟹ A \cap B \in τ$ . Analogamente vale se $B = R$ .
b. Se $A, B \neq = R$ , allora $\forall x \in A \cap B : sin x > 0 \land A \cap B \in τ_{0} ⟹ A \cap B \in τ$

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Confronto Tra Topologie

Topologie più fini, meno fini e confrontabili

Siano $τ, τ^{'}$ due topologie. Si dice che $τ$ è più fine di $τ^{'}$ se $τ^{'} \subseteq τ$ . Quindi tutti gli aperti di $τ^{'}$ sono aperti anche in $τ$ .
Se $τ \subseteq τ^{'} \lor τ^{'} \subseteq τ$ allora si dice che le due topologie sono confrontabili.

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1.3 Aperti e Chiusi

Aperto

Definizione

Data una topologia $τ$ , i suoi elementi si chiamano aperti.

Esempio

Nella Topologia Cofinita $(R, τ_{c})$ , l’insieme $A =] - \infty, 0 [\cup] 0, + \infty]$ è un aperto di $τ_{c}$ in quanto $A^{C} = {0}$

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Chiuso

Definizione

Un insieme si dice chiuso se il suo complementare è aperto.

Esempio

Nella Topologia Banale, $X$ è chiuso in quanto il suo complementare è $\emptyset$ , che è aperto

Proprietà dei Chiusi

$\emptyset, X$ sono chiusi

Sia ${U_{j}}_{j \in J}$ una famiglia di chiusi. Allora $⋂_{j \in J} U_{j}$ è chiuso.

Siano $A, B$ chiusi. Allora $A \cup B$ è chiuso.

Dim

$X^{C} = \emptyset, (\emptyset)^{C} = X \in τ$

$(⋂_{j \in J} U_{j})^{C} = ⋃_{j \in J} (U_{j}^{C}) \in τ$ da cui $⋂_{j \in J} U_{j}$ è chiuso.

$(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C} \in τ$ pertanto $A \cup B$ è chiuso.

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1.4 Basi di una Topologia

Base di una Topologia

Base di una Topologia

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico,
$β \subseteq τ$ è base della topologia $τ$ se $\forall U \in τ, \exists {B_{i}}_{i \in I} ∣ U = i \in I ⋃ B_{i}$

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Caratterizzazione delle Basi di una Topologia

Caratterizzazione delle Basi di una Topologia

$β$ è una base per $τ$ se verifica le seguenti proprietà:

$\forall x \in X : \exists B \in β ∣ x \in B$

$\forall B_{1}, B_{2} \in β$ tali che $B_{1} \cap B_{2} \neq = \emptyset, \forall x \in B_{1} \cap B_{2} : \exists B \in β ∣ x \in B \subseteq B_{1} \cap B_{2}$
Viceversa se un’insieme $β \subseteq P (X)$ verifica le proprietà 1. e 2. allora $\exists! τ$ topologia su $X$ di cui $β$ è base.

Dim

$⟹$ :
Se $β$ è base per $τ$ allora

sia $x \in X \in τ$ . Allora per definizione di base $\exists B \in β ∣ B \subseteq X ⟹ x \in B$

Siano $B_{1}, B_{2} ∣ B_{1} \cap B_{2} \neq = \emptyset .$ Poiché $B_{1}, B_{2} \in τ ⟹ B_{1} \cap B_{2} \in τ$ dunque per definizione di base $\exists B \in β, B \subseteq B_{1} \cap B_{2} ∣ x \in B$

$⟸$ :
Definisco $τ = ⎩ ⎨ ⎧ U \in P ∣ \exists β^{'} \subseteq β t.c. U = B_{i} \in β^{'} ⋃ B_{i} ⎭ ⎬ ⎫$
Dimostro che $τ$ è topologia su $X$ .

$\emptyset = U = ⋃_{i \in I} B_{i}$ unione disgiunta, $X \in τ$ poiché vale la proprietà 1.

Sia ${U_{i}}_{i \in I}$ una famiglia di elementi di $τ$ . Allora $\forall U_{i}, \exists β_{i} \subseteq β t.c. U_{i} = B_{j} \in β_{i} ⋃ B_{j}$
Pertanto $⋃_{i \in I} U_{i} = ⋃_{i \in I} (⋃_{B_{j} \in β_{i}} B_{j})$

Siano $B_{1}, B_{2} \in τ$ Se $B_{1} \cap B_{2} \neq = \emptyset$ , per la proprietà 3. si ha che $\forall x \in B_{1} \cap B_{2} : \exists B_{i} \in β ∣ x \in B \subseteq B_{1} \cap B_{2}$ . Pertanto $B_{1} \cap B_{2} = ⋃_{i \in I} B_{i} \in τ$

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Base della Topologia Euclidea

In $R^{n}$ gli insiemi $B_{r} (x) = {y \in R ∣ d (x, y) < r}$ con $r \in R^{+}$ e $x \in R^{n}$ costituiscono una base per la topologia euclidea

Caratterizzazione delle basi di una Topologia 2

$β$ è una base per $τ$ se e solo se verifica le seguenti proprietà:

$X = B \in β ⋃ B$

$\forall B_{1}, B_{2} \in β$ tali che $B_{1} \cap B_{2} \neq = \emptyset, \forall x \in B_{1} \cap B_{2} : \exists B \in β ∣ x \in B \subseteq B_{1} \cap B_{2}$

Esempio

Definisco $\forall a, x \in Z : S (x, a) = {x + ka ∣ k \in Z}$ .

$Z = x, a \in Z ⋃ S (x, a)$

Se $c \in S (x, a) \cap S (y, b)$ allora $c \in S (c, d) \subseteq S (x, a) \cap S (y, b)$ dove $d = m c m (a, b)$

I Numeri Primi sono Infiniti

I numeri primi sono infiniti

Dim

Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano finiti ${p_{1} \dots p_{s}}$
Definisco $A = p primo ⋃ S (0, p)$ e $τ = {S (x, a) = {x + ka ∣ k \in Z}} \subseteq P (Z)$

Allora $Z ∖ A = A^{C} = {- 1, 1}$ Questo perché solo $- 1, 1$ non sono primi (per definizione) e non sono multipli di numeri primi.
Osservo inoltre che $S (x, a)^{C} = X ∖ aperto S (x, a) = i = 1 ⋃ a - 1 S (x + i, a)$
Tale insieme è chiuso, in quanto complementare di aperto, e aperto poiché unione di aperti. In altre parole, tutti gli aperti sono chiusi.
Quindi $A = p primo ⋃ S (0, p)$ è chiuso per unione finita di chiusi e $A^{C} = {- 1, 1}$ è aperto. Ma questa è una contraddizione, in quanto gli aperti sono infiniti in $τ$ .

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Topologie confrontabili e basi

Proposizione

Siano $τ$ e $τ^{'}$ due topologie. Siano $β, β^{'}$ le rispettive basi.
Vale la seguente equivalenza:

$τ \subseteq τ^{'}$ , ossia $τ^{'}$ è più fine di $τ$ ;

$\forall x \in X, \forall B \in β ∣ x \in B$ si ha che $\exists B^{'} \in β^{'} ∣ x \in β \subseteq β^{'}$

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Esempio di Confronto tra Topologie

Esempio

La base per la Topologia Euclidea su $R$ è $β = {(a, b) ∣ a, b \in R, a < b}$
La base per la Topologia del Limite Inferiore $R_{ℓ}$ è $β^{'} = {[a, b) ∣ a, b \in R, a < b}$
La K-topologia su $R$ è generata dalla base $β^{''} = {(a, b) ∣ a, b \in R, a < b} \cup {(a, b) ∖ K}$ con $K = {\frac{1}{n} ∣ n \in Z^{+}}$

Topologia Confronto
$R$ vs $R_{ℓ}$ $R \subseteq R_{ℓ}$
$R$ vs $R_{K}$ $R \subseteq R_{K}$
$R_{ℓ}$ vs $R_{K}$ non confrontabili

Applico la proposizione precedente per dimostrare che $R \subseteq R_{ℓ}$ :
Prendo $B = (a, b) \in β$ e $x \in B$ arbitrari. Si ha che $\exists B^{'} = [x, b) \subseteq (a, b)$ , da cui la tesi.
Viceversa, se considero $B^{'} = [x, b) \in β^{'}$ , $∄ (a, b) \in β ∣ x \in (a, b) \subseteq [x, b)$

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Topologia	Confronto
$R$ vs $R_{ℓ}$	$R \subseteq R_{ℓ}$
$R$ vs $R_{K}$	$R \subseteq R_{K}$
$R_{ℓ}$ vs $R_{K}$	non confrontabili

1.5 Intorni e Sistemi Fondamentali di Intorni

Intorni

Intorno di un punto

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico e $x \in X$ . Si dice che $V \subseteq X$ è intorno di $x$ se $\exists A \in τ ∣ x \in A \subseteq V$ .

Esempi di intorni in $(R, E)$

Dato $x \in R$ , un suo intorno è $B_{r} (x) = {y \in R ∣ d (x, y) < r}$

Sono intorni di 0: $[- 1, 1], (- 1, + \infty), R$

NON sono intorni di $0$ : $[- 2, - 1], {0}, \emptyset$

Esempi di intorni in $R_{ℓ}$

Sono intorni di 0: $[0, 1)$ (perché è un aperto di $R_{ℓ}$ ), $[- 1, 1]$

Non sono intorni di 0: $(- 1, 0], [- 2, - 1], (0, + \infty), {0}$

Nella topologia discreta $(X, P (X))$

Tutti i sottoinsiemi $x \in A \subseteq X$ sono intorni di $x$ .

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Caratterizzazione degli aperti

Teorema

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico. Sia $A \subseteq X$ , allora:
$A$ è aperto di $τ ⟺ A$ è intorno di ogni suo punto.

Dim

$⟹$
Supponiamo $A \in τ$ e $x \in A$ . Allora $\exists A \in τ ∣ x \in A \subseteq A$

$⟸$
Se $A$ è intorno di ogni suo punto, allora $\forall x \in A, \exists U_{x} \in τ ∣ x \in U_{x} \subseteq A$
Osservo che $A = x \in A ⋃ U_{x}$ è aperto in quanto unione di aperti.

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Sistema fondamentale di intorni

Sistema fondamentale di intorni

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico. Una famiglia di insiemi $U (x) \subseteq τ$ si dice sistema fondamentale di intorni se $\forall A \in τ ∣ x \in A : \exists V \in U (x) ∣ x \in V \subseteq A$

Esempi di Sistemi fondamentali

In $R$ , un sistema fondamentale di intorni è

$U (x) = {(x - ε, x + ε) ∣ ε > 0}$

$U (x) = {(x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}) ∣ ε > 0}$

Le basi definiscono sistemi fondamentali di intorni

Sia $(X, τ)$ spazio topologico e $β$ base per $τ$ . Allora $\forall x \in X : β_{x} = {B \in β ∣ x \in B}$ è un sistema fondamentale d’intorni.

Dim

Sia $x \in X$ e $β_{x} = {B \in β ∣ x \in B}$ . Sia $A \in τ$ che contiene $x$ . Per definizione di base $\exists B \in β ∣ x \in B \subseteq A$ . Quindi $B \in β_{x}$ .

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1.6 Assiomi di Numerabilità

Spazio topologico Primo-numerabile

Spazio topologico Primo-numerabile

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico. Si dice che esso è I-numerabile se $\forall x \in X, \exists U (x)$ Sistema fondamentale di intorni numerabile, ossia che abbia cardinalità $ℵ_{0}$

Esempio

$(R, E)$ è primo numerabile, infatti $\forall x \in X : \exists U (x) = {(x - q, x + q) ∣ q \in Q}$ , e risulta che $∣ U (x) ∣ = ℵ_{0}$

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La topologia cofinita non è 1 numerabile

Proposizione

La topologia cofinita non è primo-numerabile

Dim

Devo dimostrare che $\forall x \in X$ NON esiste un sistema fondamentale di intorni numerabile.
Suppongo per assurdo che sia I-numerabile. In particolare lo è per il punto $0 \in R$ ha un SFI $U = {U_{n}}_{n \in N}$ numerabile.
Nella topologia cofinita, questi insiemi sono del tipo $R ∖ {p_{1} \dots p_{k}}$
Considero $G := n \in N ⋃ ∁_{R} U_{n}$ , ossia l’insieme dei punti esclusi dagli intorni di $U$

Osservo che:

$G$ è al più numerabile

$0 \neq \in G$

$\exists a \in R ∣ a \neq \in (G ∖ {0})$ (perché $∣ R ∣ = ℵ_{1}$ )
Quindi considero l’insieme $R ∖ {a}, a \neq = 0$ . Tale insieme è intorno $0$ , quindi $\exists U_{n} \in U ∣ 0 \in U_{n} \subseteq R ∖ {a}$ .
Si avrebbe dunque che $∁_{R} R ∖ {a} = {a} \subseteq ∁_{R} U_{n} ⟹ a \in ∁_{R} U_{n} \subseteq G$ , ma ciò è assurdo in quanto $a \neq \in G$

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Spazio topologico Secondo-numerabile

Spazio topologico Secondo-numerabile

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico. Si dice che esso è II-numerabile se $\exists β \subseteq τ$ base numerabile ossia che abbia cardinalità $ℵ_{0}$ .

Esempio

Risulta che $β = {(p, q) ∣ p, q \in Q, p < q}$ è una base di $(R, E)$ numerabile, quindi tale spazio topologico è II-numerabile

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la topologia del limite inferiore non è II-numerabile

Proposizione

La topologia $R_{ℓ}$ è I-numerabile, ma non è II-numerabile.

I-numerabilità

Dimostro che $R_{ℓ}$ è I-numerabile, ossia $\forall x \in R : \exists U (x)$ SFI.
Sia $x \in R$ e considero $U (x) = {[x, x + q [∣ q \in Q}$ (numerabile). Ogni elemento di tale insieme è un intorno di $x$ e $\forall U \in τ_{ℓ}$ risulta che $\exists q \in Q ∣ x \in [x, x + q [\subseteq U$ in virtù della densità di $Q$ in $R$ . Quindi $U (x)$ è sistema fondamentale di intorni numerabile da cui la tesi.

II-numerabilità

Supponiamo per assurdo che $\exists β$ base per $R_{ℓ}$ che sia numerabile.
Osservo che $\forall x \in R, [x, + \infty [\in τ_{ℓ}$ .
Pertanto $\exists B_{x} \in β ∣ x \in B_{x} \subseteq [x, + \infty [$ . Allora $min B_{x} = x$ , e dunque $\forall x, y \in R, x \neq = y : B_{x} \neq = B_{y}$ . Poiché ho trovato un $B_{x}$ per ogni elemento di $R$ , allora $β$ contiene $∣ R ∣ = ℵ_{1}$ elementi, il che è assurdo.

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2. Sottoinsiemi di uno Spazio Topologico

2.1 Interno di un Insieme e Punti Interni

Punto interno

Punto interno

Siano $(X, τ)$ uno spazio topologico e $A \subseteq X$ .
Si dice che $x \in A$ è un punto interno ad $A$ se $\exists U \in τ ∣ x \in U \subseteq A$

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Interno

Interno di un insieme

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico e $A \subseteq X$ . Si definisce interno di $A$ l’insieme:
$Int (A) = ⋃ {W ∣ W \in τ, W \subseteq A}$
Ossia è l’unione di tutti gli aperti contenuti in $A$

Proprietà dell'interno

$Int (A) \in τ$ ;

$Int (A) \subseteq A$ ;

$A = Int (A) ⟺ A \in τ$ ;

$\forall U \in τ ∣ U \subseteq A : U \subseteq Int (A)$ , cioè $Int (A)$ è il più grande aperto contenuto in $A$ ;

$A \subseteq B ⟹ Int (A) \subseteq Int (B)$

Dim

Ovvio poiché unione di interni

Ovvio perché unione di sottoinsiemi di $A$

Se $A$ è aperto, allora $A \subseteq Int (A) ⟹ A = Int (A)$ .
Se $A = Int (A)$ allora è unione di aperti $⟹ A \in τ$

Vero perché $Int (A)$ è l’unione di tutti gli aperti contenuti in $A$

Esempi di interni in $(R, E)$

Se $A = {1, 2}$ allora $Int (A) = \emptyset$

Se $A = [1, 2]$ allora $Int (A) = (1, 2)$

Proposizione

Sia $A \subseteq X$ . Allora $Int (A) = {x \in X ∣ x \overset{e}{ˋ} interno ad A}$

Dim

$x \in Int (A) ⟺ \exists U \in τ ∣ x \in U \subseteq A ⟺ x$ è interno ad $A$ .

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2.2 Chiusura di un Insieme

Chiusura di un insieme

Chiusura di un insieme

Siano $(X, τ)$ uno spazio topologico e $A \in τ$ .
Si chiama chiusura di un’insieme $\overline{A} = ⋂ {C ∣ A \supseteq C \overset{e}{ˋ} chiuso}$
Ossia è l’intersezione di tutti i chiusi che contengono $A$ .

Proprietà della chiusura

$\overline{A}$ è chiuso (per la proprietà 2 dei chiusi)

$A \subseteq \overline{A}$

$\overline{A}$ è il più piccolo chiuso che contiene $A$ , ossia $\forall C$ chiuso tale che $A \subseteq C : \overline{A} \subseteq C$

$\overline{A} = A ⟺ A$ è chiuso

Dim

Ovvio

Ovvio perché intersezione di insiemi contenenti $A$

Se $C$ chiuso e $A \subseteq C$ allora $\overline{A} \subseteq C$

Se $\overline{A} = A ⟹ A$ chiuso per la proprietà 1; se $A$ chiuso allora per la 3 $\overline{A} \subseteq A ⟹ \overline{A} = A$ .

Esempi di chiusure in $(R, E)$

Se $A = (0, + \infty)$ allora:

\bigcap_{\begin{array} \
a \leq 0 \
b>0
\end{array}} \left[ a,b \right] =[0,+\infty[$$

2. Se $A = 2, 3$ allora $\overline{A} = A$ perché $A$ è chiuso.
3. Se $A = N$ allora $\overline{A} = N$ poiché $R ∖ N = (- \infty, 0) n \in N ⋃ (n, n + 1)$

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Punti di Aderenza

Punti di Aderenza

Sia $(X, τ)$ spazio topologico e $A \subseteq X$ . Si dice che $x$ è aderente o di aderenza per $A$ se $\forall U$ intorno di $x$ tale che $A \cap U \neq = \emptyset$

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Teorema sui Punti di Aderenza

Teorema

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico e sia $A \subseteq X$ . Allora valgono:

$x$ è punto di aderenza per $A ⟺ x \in \overline{A}$

Se $β$ è base per $τ$ allora $x$ è p. di aderenza per $A ⟺ \forall B \in β ∣ x \in B : B \cap A \neq = \emptyset$ .

Dim

Supponiamo che $x$ non è di aderenza per $A$ . Allora $\exists W \in τ ∣ x \in W \land W \cap A = \emptyset$ .
Allora $W^{C}$ è chiuso e contiene $A$ , pertanto $W^{C} \supseteq \overline{A}$ per la 3. proprietà dei chiusi. Dal momento che $x \neq \in W^{C} ⟹ x \neq \in \overline{A}$ .
Viceversa se $x \neq \in \overline{A}$ , allora $\exists C$ chiuso che contiene $A ∣ x \neq \in C$ (posso prendere anche $C = \overline{A}$ ). Allora $U := X ∖ C$ è aperto e contiene $x$ , ma $U \cap A = \emptyset$ . Dunque $x$ non è di aderenza per $A$ .

Se $x$ è p. di aderenza per $A$ allora $\forall U$ intorno di $x ∣ U : A \cap U \neq = \emptyset$ . Ciò vale anche per gli elementi della base che contengono $x$ .
Viceversa supponiamo $\forall B \in β ∣ x \in B : B \cap A \neq = \emptyset$ . Se $U$ è intorno di $x$ , allora $\exists W \in τ ∣ x \in W \subseteq U$ . Per la definizione di base $\exists {B_{i}} \subseteq β ∣ W = ⋃_{i \in I} B_{i}$ . Quindi $\exists i \in I ∣ x \in B_{i} \subseteq W \subseteq A$ e $B_{i} \cap A \neq = \emptyset ⟹ U \cap A \neq = \emptyset$ .

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2.3 Punti di Accumulazione e Isolati

Punto di Accumulazione

Punto di Accumulazione

Sia $(X, τ)$ spazio topologico e $A \subseteq X$ . Si dice che $x$ è punto di accumulazione per $A$ se $\forall U \in τ ∣ x \in U : (U \cap A) ∖ {x} \neq = \emptyset$
L’insieme dei punti di accumulazione si chiama denota $D (A)$ .

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Punto Isolato

Punto Isolato

Sia $(X, τ)$ spazio topologico e $A \subseteq X$ . Si dice che $x$ è punto isolato di $A$ se $\exists U \in τ ∣ x \in U$ tale che $U \cap A = {x}$

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In $(R, E)$

$N$ contiene solo punti isolati.
${\frac{1}{n}, n \in Z}$ contiene solo punti isolati.

Proposizione

Sia $(X, τ)$ spazio topologico e $A \subseteq X$ . Allora $\overline{A} = A \cap D (A)$

Dim

$x \in A ⟹ x \in \overline{A}$ .
Se $x \in D (A)$ allora $\forall U \in τ, x \in U ∣ (U \cap A) ∖ {x} \neq = \emptyset ⟹ U \cap A \neq = \emptyset$ . Per cui $x$ è di aderenza, e quindi per il Teorema sui Punti di Aderenza $x \in \overline{A}$

Esempi di Chiusi in Topologie Diverse

In $R$

Consideriamo $A_{1} = (0, + \infty), A_{2} = {1, 2}, A_{3} = N, A_{4} = Q$ .
Calcolarne $Int (A_{i}), \overline{A_{i}}$ in $(R, E), (R, P (X)), (R, τ_{co f}), (R, τ_{ℓ})$

In $(R, E)$
$Int (A_{1}) = A_{1}$ , $\overline{A_{1}} = [0, + \infty)$
$Int (A_{2}) = \emptyset$ , $\overline{A_{2}} = A_{2}$
$Int (A_{3}) = \emptyset$ , $\overline{A_{3}} = A_{3}$
$Int (A_{4}) = \emptyset$ : infatti $\forall q \in Q : \exists ε > 0 ∣ (q - ε, q + ε) \neq \subseteq Q$ .

In $(R, P (R))$
$\forall i \in {1, 2, 3, 4} : Int (A_{i}) = A_{i}, \overline{A_{i}} = A_{i}$

$(R, τ_{co f})$
Ricordiamo che $τ_{co f} = {\emptyset} \cup {A \subseteq R ∣ ∁_{X} A \overset{e}{ˋ} finito}$ .
Se $r$ fosse interno a $A_{1} = (0, + \infty)$ allora esisterebbe $W \in τ_{co f} ∣ x \in W \subseteq A_{1}$ . Tale $W$ è del tipo $R ∖ {p_{1} \dots p_{k}} \neq \subseteq A_{1} ⟹ A_{1}$ non ha punti interni. Pertanto $Int (A_{1}) = \emptyset$
I chiusi di $τ_{co f}$ sono chiusi oppure sono uguali a $R$ . L’unico chiuso che contiene $A_{1}$ è $R$ , quindi $\overline{A_{1}} = R$
Considero $A_{2}$ . Nella topologia cofinita, non esistono aperti contenuti in $A_{2}$ , quindi $Int (A_{2}) = \emptyset$ . Osservo inoltre che $∁_{R} A_{2} = R ∖ {1, 2}$ è aperto in $τ_{co f}$ , quindi $A_{2}$ è chiuso, di conseguenza $A_{2} = \overline{A_{2}}$ .
$A_{3} = N$ . $\forall n \in N, n \neq \in Int (N)$ . Questo perché $\forall U \in τ_{co f} ∣ n \in U : U \neq \subseteq N ⟹ Int (N) = \emptyset$ .
Analogamente ad $A_{2}$ , risulta che $\overline{A_{3}} = R$ .
Osservo che $Int (Q) = \emptyset$ in virtù dello stesso ragionamento seguito per $A_{3}$ .
L’unico chiuso che contiene $Q$ è $R ⟹ \overline{Q} = R$

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2.4 Insiemi densi

Insieme Denso

Insieme denso

Sia $(X, τ)$ spazio topologico e $A \subseteq X$ . Si dice che $A$ è denso in $X$ se $\overline{A} = X$

Esempi

$Q$ è denso in $(R, E)$

$N$ è denso in $(R, τ_{co f})$

$(0, + \infty)$ è denso in $(R, τ_{co f})$

$Q$ è denso in $(R, τ_{ℓ})$
Infatti $\forall r \in R : r$ è aderente a $Q$ .
Sia $r \in R$ . $\forall U \in τ_{ℓ}, r \in U : \exists [a, b) \subseteq U ∣ r \in [a, b)$ e si ha che $[a, b) \cap Q \neq = \emptyset$

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Caratterizzazione degli insiemi densi

Caratterizzazione degli insiemi densi

Sia $(X, τ)$ spazio topologico e $A \subseteq X$ .
$\overline{A} = X ⟺ \forall U \in τ ∣ U \neq = \emptyset : U \cap A \neq = \emptyset$

Dim

$⟹$ :
Supponiamo $\overline{A} = X$ e supponiamo per assurdo che $\exists U \in τ, U \neq = \emptyset ∣ U \cap A = \emptyset$ .
Allora $F := ∁_{X} U$ è chiuso in quanto complementare di aperto e $U \neq = \emptyset ⟹ F ⊊ X$ . Quindi ho trovato un chiuso che contiene $A$ ed è contenuto in $X$ . Ma ciò è assurdo perché $\overline{A} = X$ .
$⟸$ :
Sia $p \in X$ . Allora per ipotesi $U \in τ ∣ p \in U : U \cap A \neq = \emptyset$ . Dunque $p$ è un punto di aderenza per $A$ e dunque $p \in \overline{A}$ . Concludo che $\overline{A} = X$ .

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Topologie confrontabili e insiemi densi

Proposizione

Siano $X \neq = \emptyset$ , $τ, τ^{'}$ due topologie su $X$ tali che $τ \subseteq τ^{'}$ , Allora se $A \subseteq X$ è denso in $τ^{'}$ , allora lo è anche in $τ$

Dim

Supponiamo che $A$ è denso in $(X, τ^{'})$ . Allora $\forall U \in τ^{'} ∣ U \neq = \emptyset : U \cap A \neq = \emptyset$ .
Poiché $τ \subseteq τ^{'}$ , si ha che $\forall U^{'} \in τ \subseteq τ^{'} ∣ U^{'} \neq = \emptyset : U^{'} \cap A \neq = \emptyset$

Controesempio

Considero $X = R$ e le topologie $E, P (R)$ . La topologia discreta è più fine della topologia euclidea.
Sappiamo che $Q$ è denso in $(R, E)$ . Tuttavia $\overline{Q} = Q$ in $P (R)$

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2.5 Punti esterni e di frontiera

Esterno

Punto esterno

Sia $(X, τ)$ spazio topologico e $A \subseteq X$ . Si dice che $x \in X$ è esterno ad $A$ se è interno al suo complementare $∁_{X} A$

Esterno

L’insieme dei punti esterni si chiama esterno e si denota $Est (A) = Int (∁_{X} A)$

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Frontiera

Punti di frontiera

Sia $(X, τ)$ spazio topologico e $A \subseteq X$ . $x \in X$ si dice punto di frontiera di $A$ se $x$ non è né interno, né esterno.
L’insieme dei punti di frontiera si denota con $F r (A)$ oppure $\partial A$

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2.6 Identità dell’Interno, Esterno e Frontiera

Proprietà Interno, Esterno e Frontiera

Proprietà

Sia $(X, τ)$ spazio topologico e $A, B \subseteq X$ . Allora valgono le seguenti proprietà dell’interno, esterno e frontiera di $A, B$ :

$Int (A) \cup Int (B) \subseteq Int (A \cup B)$

$Int (A) \cap Int (B) = Int (A \cap B)$

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ ;

$\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}$

$Est (A) \cup Est (B) \subseteq Est (A \cap B)$

$Est (A) \cap Est (B) = Est (A \cap B)$

$F r (A \cup B) \subseteq F r (A) \cup F r (B)$

$F r (A \cap B) \subseteq F r (A) \cap F r (B)$

Dim

Sia $x \in Int (A) \cup Int (B)$ . Allora $\exists U, \in τ ∣ x \in U \subseteq A$ . Ma $A \subseteq A \cup B$ pertanto $x \in U \subseteq A \subseteq A \cup B ⟹ x \in Int (A \cup B)$

Supponiamo $x \in Int (A) \cap Int (B)$ . Allora $\exists U \in τ ∣ x \in U \subseteq A$ e $\exists U^{'} \in τ ∣ x \in U^{'} \subseteq B$ .
Osservo che $U \cap U^{'} \in τ$ e $x \in U \cap U^{'} \subseteq A \cap B ⟹ x \in Int (A \cap B)$ .
Viceversa se $x \in Int (A \cap B)$ Allora $\exists U \in τ ∣ x \in U \subseteq A \cap B$ . Quindi $U \subseteq A, U \subseteq B ⟹ x \in Int (A) \cup Int (B)$

$\overline{A} \cup \overline{B}$ è chiuso in quanto unione di chiusi, inoltre $A \cup B \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}$ quindi $\overline{A \cup B} \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}$ . (ricordo che la chiusura di un insieme $A$ è il più piccolo chiuso che contiene $A$ ).
Viceversa, $A, B \subseteq A \cup B$ e $\overline{A}, \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B} ⟹ \overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}$

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3. Costruzioni di Insiemi

3.1 Topologia Prodotto

Topologia Prodotto

Topologia Prodotto

Siano $(X, τ), (Y, σ)$ due spazi topologici. La topologia prodotto del prodotto cartesiano $X \times Y$ è generata dalla base $β = {U \times W ∣ U \in τ, W \in σ}$ .
Più in generale, dati $(X_{1}, τ_{1}), \dots, (X_{n}, τ_{n})$ , la topologia prodotto dell’insieme $i = 1 \prod n X_{i} = X_{1} \times \dots \times X_{n}$ è generata dalla base ${i = 1 \prod n U_{i} U_{i} \in τ_{i}, \forall i = 1 \dots n}$

Suriezione canonica della Topologia Prodotto

Considero la funzione $π_{i} : i = 1 \prod n X_{i} \to X_{i}$ tale che $(x_{1}, \dots, x_{n}) ⟼ x_{i}$
Risulta che posto $S_{i} := {π_{i}^{- 1} (U_{i}) U_{i} \in τ_{i}}$ , $S = i = 1 ⋃ n S_{i}$ genera (ma non è base di) $(X_{1} \times \dots \times X_{n}, τ_{1} \times \dots \times τ_{n})$ .

Esempio

Considero $(R, E)$ topologia euclidea e $(R, P (R))$ topologia discreta, generate dalle basi $β_{E} = {(a, b) ∣ a, b \in R}$ e $β_{p} = {{x} ∣ x \in R}$ .
Considero $(0, 1) \in E$ , allora $π_{1}^{- 1} ((0, 1)) = (0, 1) \times R$ .
Se prendo l’aperto ${0} \in P (R)$ , allora $π_{2}^{- 1} ({0}) = R \times {0}$
La topologia prodotto $E \times P (R)$ contiene rette e segmenti aperti orizzontali (ma non verticali).

Topologia Prodotto su $R^{N}$

Su $R^{N}$ la topologia prodotto è generata dalla base
$β = {U_{1} \times \dots \times U_{n} \times R \times R \times \dots ∣ n \in N}$

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Proprietà fondamentale delle mappe

Proprietà Fondamentale

Sia $Z$ un insieme e siano date le mappe $f_{x} : Z \to X, f_{y} : Z \to Y$ . Allora esiste ed è unica la mappa $f : Z \to X \times Y$ tale che $p_{x} \circ f = f_{x}$ e $p_{y} \circ f = f_{y}$ .
Ossia il diagramma commuta

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3.2 Box Topologia

Prodotto Cartesiano della Famiglia Parametrizzata

Famiglia Parametrizzata

Sia $I$ un insieme non vuoto e sia $X = {X_{α} ∣ α \in I} = {X_{α}}_{α \in I}$ una famiglia parametrizzata da $I$ .
Definisco il prodotto cartesiano di tale famiglia come:
$\prod_{α \in I} X_{α} = {f : I \to ⋃_{α \in I} X_{α} f (α) \in X_{α}, \forall α \in I}$

Esempio $R^{2}$

Considero $R^{2} = {(a, b) ∣ a, b \in R}$
La coppia $(a, b)$ può essere vista come una funzione tale che $f (0) = a \in R, f (1) = b$ . Quindi tutti gli elementi di $R^{2}$ fanno parte dell’insieme $R^{{0, 1}}$ . Viceversa una funzione $f : {0, 1} \to R \cup R = R$ tale che $f (0) \in R, f (1) \in R$ si può scrivere come coppia $(a, b)$ .
In altre parole $R^{2}$ è isomorfo a $R^{{0, 1}}$

$R^{N} := R^{ω}$

$R^{ω}$ contiene tutte e sole le funzioni $f : N \to R$ , ossia le successioni di numeri reali.
(che possono essere viste come $n$ -uple infinite di numeri reali).

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Proiezioni Canoniche

Proiezione Canonica

Sia ${X_{α}}_{α \in I}$ una famiglia indicizzata di insiemi.
la funzione $π_{α} : X = α \in I \prod X_{α} \to X_{α}$ tale che $f ⟼ π_{α} (f) = f (α)$ è detta proiezione.

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Box Topologia

Box Topologia

La box topologia su $R^{N} = {(x_{1}, x_{2}, \dots,) ∣ x_{i} \in R, \forall i \in N}$ è la topologia generata dalla base $β = {n \in N \prod U_{n} U_{n} aperto in R}$
Su $R^{n}$ con $n \in N$ la box topologia è generata dalla base $β = {i = 1 \prod n U_{n} U_{n} aperto in R}$

Esempio

Su $R^{N}$ un aperto della box topologia è $(0, 1) \times (1, 2) \times (2, 3) \times \dots \times (a, b) \times \dots$
Su $R^{4}$ gli aperti sono del tipo $(0, 1) \times (1, 2) \times (2, 3) \times (3, 4)$

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Confronto tra box topologia e topologia prodotto

Proposizione

$(R^{N}, τ_{prod}) ⊊ (R^{N}, τ_{box})$ , ossia la Box Topologia è più fine della Topologia Prodotto .
Su $R^{{0, \dots, n}}$ $τ_{prod} = τ_{box}$
Infatti, in $R^{N}$ gli aperti della topologia box da un certo $n$ in poi non hanno vincoli, cioè gli insiemi del tipo $\prod_{a, b \in R} (a, b)$ non fanno parte della topologia prodotto.

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4. Sottospazi

4.1 Definizione e Basi

Topologia di Sottospazio

Sottospazio Topologico

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico. Sia $Y \subseteq X$
L’insieme $τ_{Y} = {A \cap Y ∣ U \in τ}$ è una topologia su $Y$ detta topologia di sottospazio.
$(Y, τ_{Y})$ è detta sottospazio topologico di $X$

Dim

Dimostro che è una topologia:

$\emptyset = Y \cap \emptyset, Y = Y \cap X ⟹ \emptyset, Y \in τ_{Y}$

$⋃_{i \in I} (U_{i} \cap Y) = aperto di τ (i \in I ⋃ U_{i}) \cap Y$

$(U_{1} \cap Y) \cap \dots \cap (U_{m} \cap Y) = aperto di τ (U_{1} \cap \dots \cap U_{m}) \cap Y \in τ_{Y}$
Quindi $τ_{Y}$ verifica la definizione di topologia

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Base di sottospazio

Base di un sottospazio

Se $β$ è base per $(X, τ)$ , allora $β_{Y} = {B \cap Y ∣ B \in β}$ è base per il sottospazio $(Y, τ_{Y})$

Dim

Sia $U \subseteq X$ e $y \in U \cap Y$
Allora per la definizione di base $\exists B \in β ∣ y \in B \cap Y \subseteq U \cap Y$ .
Dunque dato un aperto di $τ_{Y}$ , per ogni suo punto $x$ posso trovare un elemento della base $β_{Y}$ che contiene $x$ e che è contenuto in tale aperto.

Esempi di sottospazi

In $(R, E)$ considero $Y = [0, 1]$
Allora la base per $(Y, E_{Y})$ è formata dagli elementi del tipo:
$(a, b) \cap Y = ⎩ ⎨ ⎧ (a, b) se a, b \in Y [0, b) se b \in Y (a, 1] se a \in Y Y, \emptyset se a, b \neq \in Y$

Osservo che $[0, 1]$ è aperto di $Y$ ma NON è aperto di $X$ .

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Chiusi e interni di spazi topologici (proprietà)

Proprietà

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico e $Y \subseteq X$

Se $A \subseteq Y ⟹ \overline{A}^{Y} = \overline{A}^{X} \cap Y$

$I n t_{Y} (A) = I n t_{X} (A \cup (X ∖ Y)) \cap Y$

Dim

Verifico la doppia inclusione (utilizzo il Teorema sui Punti di Aderenza 1.)

$\overline{A}^{Y} \subseteq \overline{A}^{X} \cap Y$
Sia $p \in \overline{A}^{Y} ⟹ p \in Y$
$\forall U \in τ_{Y}$ (ossia $\forall U \in τ ∣ U = U \cap Y$ ) intorno di $p$ risulta $U \cap \overline{A}^{Y} \neq = \emptyset$ (perché $p$ è punto interno ad $A$ ).
Sia $W \in τ$ tale che $p \in W$ .
Allora $W \cap A = W \cap A \cap Y = A \cap \in τ_{Y} (W \cap Y) \neq = \emptyset ⟹ W \cap A \neq = \emptyset$
Ho dimostrato che $p \in \overline{A}^{X} \cap Y ⟹ \overline{A}^{Y} \subseteq \overline{A}^{X} \cap Y$

$\overline{A}^{X} \cap Y \subseteq \overline{A}^{Y}$
Sia $p \in \overline{A}^{X} \cap Y$ e sia $U \in τ_{Y} ∣ p \in U$ . Allora $\exists U \in τ ∣ U = U \cap Y$ .
Poiché $p$ interno ad $A$ (rispetto $X$ ), si ha che $U \cap A = U \cap Y \cap A \neq = \emptyset$
Quindi $p \in \overline{A}^{Y}$ perché verifica la proprietà di punto interno.

$\displaystyle Int_{Y}(A)=\bigcup_{\substack{U\in \tau_{Y} \\ U\subseteq A}}U$$\displaystyle=\!\!\!\!\!\bigcup_{\substack{V\in \tau \\ V\cap Y\subseteq A}}\!\!\!\!(V\cap Y)$ .
Osservo che $V \cap Y \subseteq A ⟺ V \subseteq A \cup (X ∖ Y)$ (figura sotto)
$\displaystyle Y\cap \!\!\!\!\bigcup_{\substack{V\in \tau \\ V\cap Y\subseteq A}}V=$$\displaystyle Y\cap\!\!\!\!\!\!\!\! \bigcup_{\substack{V\in \tau \\ V\subseteq A\cup (X\setminus Y)}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!V=Int_{X}(A\cup(X\setminus Y))$

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5. Mappe Continue e Omeomorfismi

5.1 Definizione e Proprietà

Mappa Continua

Mappa continua

Siano $(X, τ), (Y, τ^{'})$ spazi topologici e sia $f : A \to B$ una mappa.
Essa si dice continua se $\forall V \in τ^{'} : f^{- 1} (V) \in τ$

Esempio

Considero $f : (R, P (X)) \to (R, E)$ tale che $f (x) = x$
Prendo un aperto $V \in E : f^{- 1} (V) = V \subseteq P (X)$ , quindi $f$ è continua.
Se scambio insieme di partenza e arrivo, invece la funzione non è più continua: infatti se considero ${0} \in P (X)$ aperto nella topologia discreta, $f^{- 1} ({0}) = {0} \neq \in E$ .

Mappa continua in un Punto

Siano $(X, τ), (Y, τ^{'})$ spazi topologici e sia $f : A \to B$ una mappa.
Essa si dice continua in $x_{0} \in X$ se $\forall V$ intorno aperto di $f (x_{0})$ esiste $U$ intorno aperto di $x_{0}$ tale che $f (U) \subseteq V$

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Continuità della funzione identità

Proposizione

Siano $(X, τ), (Y, τ^{'})$ due spazi topologici, allora:
$i d : (X, τ) \to (Y, τ^{'})$ è continua se e solo se $τ \subseteq τ^{'}$ ossia che $τ^{'}$ è più fine

Dim

$i d$ è continua $⟺ \forall V \in τ^{'} : f^{- 1} (V) = V \in τ ⟺ τ \subseteq τ^{'}$

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Caratterizzazione delle Mappe Continue

Teorema

Siano $(X, τ), (Y, τ^{'})$ spazi topologici e $f : X \to Y$ .
Allora vale la seguente equivalenza:
a. $f$ è continua globalmente
b. $\forall x_{0} \in X, f$ è continua in $x_{0}$
c. $\forall C$ chiuso di $Y : f^{- 1} (C)$ è chiuso in $X$
d. $\forall A \subseteq X : f (\overline{A}) \subseteq \overline{f (A)}$

Dim

a. $⟹$ b.
Sia $x_{0} \in X$ . allora $\forall V$ intorno di $f (x_{0})$ si ha che $f^{- 1} (V)$ è aperto.
Inoltre $x_{0} \in f^{- 1} (V)$ poiché $f (x_{0}) \in V$ . Quindi ho trovato un $U = f^{- 1} (V)$ intorno di $x_{0}$ , da cui la tesi.

b. $⟹$ a.
Per ipotesi $\forall x_{0} \in X, \forall V$ intorno aperto di $f (x_{0})$ esiste $U$ intorno di $x_{0}$ tale che $U \subseteq f^{- 1} (V)$ .
Sia $W \in τ^{'}$ : dimostro che $f^{- 1} (W)$ è intorno di ogni suo punto.
Sia $p \in f^{- 1} (W)$ . allora $\exists U$ intorno aperto di $p$ tale che $U \subseteq f^{- 1} (V)$ . Ciò significa che $f^{- 1} (V)$ è intorno di $p$ per definizione. Per l’arbitrarietà di $p$ , si ha che $f^{- 1} (W)$ è aperto, in virtù della Caratterizzazione degli aperti.

a. $⟺$ c.
Si dimostra che $f^{- 1} (∁_{Y} A) = ∁_{X} (f^{- 1} (A))$

a. $⟹$ d.
Suppongo che $f$ sia continua. Sia $A \subseteq X$ e sia $p \in f (\overline{A})$ , cioè $p = f (x), x \in \overline{A}$ . Per provare che $p \in \overline{f (A)}$ applico il Teorema sui Punti di Aderenza e dimostro che $\forall U$ intorno di $p = f (x)$ , $U \cap f (A) \neq = \emptyset$ .
Poiché $f$ è continua, allora $f^{- 1} (U)$ è aperto e contiene $x$ , quindi è intorno di $x \in \overline{A}$ . Poiché $x$ è un punto di aderenza per $A$ , tutti i suoi intorni hanno intersezioni non vuote con $A$ .
Quindi $f^{- 1} (U) \cap A \neq = \emptyset ⟹$ $f (f^{- 1} (U) \cap A) = U \cap f (A) \neq = \emptyset$ .

d. $⟹$ a.
Supponiamo viceversa che $\forall A \subseteq X : f (\overline{A}) \subseteq \overline{f (A)}$
Devo dimostrare che $\forall C \subseteq Y$ chiuso, $D = f^{- 1} (C) \subseteq X$ è chiuso.
Dunque $f (\overline{D}) \subseteq \overline{f (D)} \subseteq \overline{C} = C$ . L’ultima uguaglianza risulta dal fatto che la chiusura di un insieme chiuso è l’insieme stesso.
Pertanto $\overline{D} \subseteq f^{- 1} (C) = D ⟹ \overline{D} = D$ per le proprietà dei chiusi.
Quindi $D = f^{- 1} (C)$ è chiuso da cui la tesi.

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Mappe Continue e Basi

Proposizione

Sia $f : (X, τ) \to (Y, τ^{'})$ una funzione . Se $β$ è base di $Y$ , allora per verificare che $f$ sia continua è sufficiente verificare che per ogni elemento $b$ della base, $f^{- 1} (B)$ sia aperto.

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Regole per la costruzione delle funzioni continue

Regole per la costruzione delle funzioni continue

Siano $(X, τ), (Y, τ^{'})$ due spazi topologici:

Se $f : X \to Y$ è funzione continua, allora $f$ è continua.

Se $B \subseteq X$ , allora $j : (B, τ_{B}) \to X$ tale che $\forall b \in B : j (b) = b$ è continua

Sia $(Z, τ^{''})$ è spazio topologico, e $f : X \to Y, g : Y \to Z$ sono funzioni continue, allora $g \circ f$ è continua

Punto 1

Sia $y_{0} \in Y$ tale che $\forall x \in X : f (x) = y_{0}$
Sia $A \subseteq Y : f^{- 1} (A) = {\emptyset A se y_{0} \neq \in A se y_{0} \in A$
In entrambi i casi, la controimmagine di $A$ è un aperto di $X$ , quindi $f$ è continua.

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Lemma dell'Incollamento

Lemma dell'Incollamento

Sia $X = A \cup B$ , dove $A, B$ sono chiusi in $X$
Siano $f : A \to Y$ e $g : B \to Y$ funzioni continue tali che $\forall x \in A \cap B : f (x) = g (x)$ .
Allora $\exists h : X \to Y$ continua definita ponendo:
$h (x) = {f (x) g (x) se x \in A se x \in B$

Dim

$f$ continua $⟹ f^{- 1}$ aperta $⟹ f^{- 1}$ chiusa
Osservo che se $C \subseteq Y$ è chiuso, $h^{- 1} (C) = f^{- 1} (C) \cup g^{- 1} (C)$

$f^{- 1} (C) \subseteq A \subseteq X$ è chiuso

$g^{- 1} (C) \subseteq B \subseteq X$ è chiuso
Quindi $h^{- 1} (C)$ è chiuso, e per l’arbitrarietà di $C$ risulta che $h$ è continua.
Inoltre $h$ è ben definita perché se $x \in A \cap B$ allora $f (x) = g (x)$

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Teorema sulle funzioni continue e topologia prodotto

Teorema

Sia $A$ uno spazio topologico e $X = \prod X_{α}$ munito di topologia prodotto. Allora $f : A \to X$ tale che $a ⟼ (f_{1} (a), \dots, f_{α} (a), \dots)_{α \in I}$ è continua se e solo se $f_{α} : A \to X_{α}$ è continua $\forall α \in I$

Dim

Osservo che $f_{α} = π_{α} \circ f$ dove $π_{α}$ è la proiezione rispetto $X_{α}$ , che è continua.
Se $f$ è continua, allora $f_{α}$ è continua
Se tutte le $f_{α}$ sono continue, allora $\forall α \in I, \forall U_{α} \in X_{α}$ :
$f_{α}^{- 1} (U_{α}) = (π_{α} \circ f)^{- 1} (U_{α}) = f^{- 1} \circ π_{α}^{- 1} (U_{α}) = f^{- 1} (aperto π_{α}^{- 1} (U_{α}))$
Poiché $π_{α}$ e $f$ sono continue, allora $f_{α}^{- 1} (U_{α})$ è aperto quindi $f_{α}$ è continua.

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Box Topologia e Continuità

La Box Topologia non garantisce la continuità delle funzioni

Consideriamo $(R, E)$ (topologia euclidea) e $(R^{N}, τ_{box})$ la box topologia.
Definisco $Δ : R \to R^{N}$ tale che $\forall t \in R : Δ (t) = (t, t, t, \dots)$
Considero l’aperto di $τ_{box}$ , $U = (- 1, 1) \times (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \times (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \times (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \times \dots$
Com’è fatto $Δ^{- 1} (U)$ ?
$Δ^{- 1} (U) = {t \in R ∣ Δ (t) \in U} = {t \in R ∣ ∣ t ∣ < \frac{1}{n}, \forall n \in N} = {0}$
Osservo dunque che la controimmagine di $U$ è un chiuso di $(R, E)$ , quindi $Δ$ non è una funzione continua

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5.2 Omeomorfismi

Mappa Aperta

Mappa Aperta

Una funzione $f : X \to Y$ si dice aperta se $\forall A \subseteq X$ aperto si ha che $f (A) \subseteq Y$ è aperto

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Mappa Chiusa

Mappa chiusa

Una funzione $f : X \to Y$ si dice chiusa se $\forall A \subseteq X$ chiuso si ha che $f (A) \subseteq Y$ è chiuso

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Omeomorfismo

Omeomorfismo

Siano $(X, τ), (Y, τ^{'})$ spazi topologici e $f : X \to Y$ .
Quest’ultima si dice omeomorfismo se:

$f$ è continua

$f$ è bigettiva

$f^{- 1}$ è continua

Inoltre $X$ e $Y$ si dicono omeomorfi

Esempio

Non ci sono tagli, incollamenti o “buchi”, quindi vengono garantite rispettivamente continuità, iniettività e suriettività

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Caratterizzazione degli omeomorfismi

Proposizione

Sia $f : X \to Y$ una mappa tra spazi topologici. Essa è omeomorfismo se e solo se:

$f$ è bigettiva

$f$ è aperta

Dim

$f$ bigettiva $⟹ \forall A \subseteq X : f (A) = (f^{- 1})^{- 1} (A)$
$f^{- 1}$ aperta $⟺ f$ continua
$f$ aperta $⟺ f^{- 1}$ continua

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Notazione

Per indicare una ingezione si può usare il simbolo $↪$ e per indicare una suriezione si usa $↠$

Gruppo degli Automorfismi

Gruppo degli Automorfismi

L’insieme $A u t (X) = {f : X \to X ∣ f$ è omeomorfismo $}$ è chiamato gruppo degli automorfismi di $X$

Dim

Dimostro che $(A u t (X), \circ)$ è un gruppo:

$i d : X \to X$ è l’elemento neutro rispetto all’operazione $\circ$

$\forall f \in A u t (X) : \exists f^{- 1} \in A u t (X)$ in quanto $f$ è omeomorfismo, dunque la sua inversa è omeomorfismo e $f \circ f^{- 1} = i d$

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6. Distanze e Spazi Metrici

6.1 Metriche

Metrica

Metrica

Sia $X \neq = \emptyset$ un insieme. $d : X \times X \to R$ si dice metrica o distanza se verifica le seguenti proprietà:

$\forall x, y \in X : d (x, y) \geq 0$ ;

$\forall x, y \in X : d (x, y) = 0 ⟺ x = y$ ;

$\forall x, y \in X : d (x, y) = d (y, x)$ ;

$\forall x, y, z \in X : d (x, y) + d (y, z) \geq d (x, z)$ (Disuguaglianza Triangolare).

Distanza Euclidea

In $R^{2}$ , la distanza euclidea è $d (x, y) = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}$

Più in generale in $R^{n}$ la distanza euclidea è definita così:
$d (x, y) = i = 1 \sum n (x_{i} - y_{i})^{2}$

$p$ -metrica

In $R^{n}$ , la $p$ -metrica si definisce ponendo $d_{p} (x, y) = (i = 1 \sum n (x_{i} - y_{i})^{p})^{\frac{1}{p}}$

$\infty$ -metrica

Se $p \to \infty$ si ottiene la $\infty$ -metrica:
$p (x, y) = d_{\infty} (x, y) = 1 \leq i \leq n sup ∣ x_{i} - y_{i} ∣$

Metrica discreta

Sia $X$ un insieme non vuoto. La Metrica Discreta è definita ponendo:
$d (x, y) = {01 se x = y se x \neq = y 2$

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Spazio metrico

Spazio Metrico

Sia $X$ un insieme e $d (x, y)$ una metrica. Si definisce spazio metrico la coppia $(X, d)$

Esempi di spazi metrici

$(R^{2}, d_{2})$ con $d_{2} (x, y)$ distanza euclidea.

$X = C ([a, b], R)$ l’insieme delle funzioni continue sull’intervallo $[a, b]$ . Posso definire la metrica $d_{\infty} (f (x), g (x)) = t \in [a, b] sup ∣ f (x) - g (x) ∣$ .
$(X, d_{\infty})$ è spazio metrico

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Palla aperta

Palla aperta

Sia $X \neq = \emptyset$ e $d (x, y)$ una metrica.
Definisco la palla aperta l’insieme $B_{r} (x) = {y \in X ∣ d (x, y) < ε}$ con $ε \in R^{+}$

$(R^{2}, d_{2})$

Le palle aperte sono della distanza euclidea tipo $B_{r} (x) = {y \in R^{2} ∣ d_{2} (x, y) < r}$ con $r > 0$ .
Nel piano cartesiano sono rappresentate dai punti che si trovano all’interno di una circonferenza di centro $x$ e raggio $r$

$\infty$ -metrica

Gli aperti della $\infty$ -metrica in $R^{2}$ sono dei quadrati

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Metriche Equivalenti

Metriche Equivalenti

Siano $d_{1}, d_{2}$ due metriche su $X \neq = \emptyset$ .
Si dice che sono equivalenti se inducono la stessa topologia.

Esempio

Risulta che in $R^{2}$ la metrica euclidea e la $\infty$ -metrica sono equivalenti.
Questo perché preso un qualsiasi cerchio aperto di $d_{2}$ posso ricoprirlo di aperti di $d_{\infty}$ e viceversa, quindi ogni aperto di $τ_{d_{2}}$ è unione di aperti di $τ_{d_{\infty}}$ e viceversa

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Distanza di un punto da un insieme

Distanza di un punto da un insieme

Siano $(X, d)$ uno spazio metrico e $A \subseteq X$
Si definisce distanza di $x$ da $A$ : $δ (x, A) = y \in A min {d (x, y)}$

Osservazione

Non è detto che $δ (x, A) = 0 ⟺ x \in A$
Ad esempio, se considero $A = (0, 1) \subseteq R$ e $x = 0$ , $δ (x, A) = 0$ , ma $x \neq \in A$

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Spazio Metrizzabile

Spazio Metrizzabile

Uno spazio topologico $(X, τ)$ si dice metrizzabile se esiste una metrica $d$ che induce alla topologia $τ$ .

$R$

$(R, E)$ è metrizzabile, infatti è indotta dalla distanza euclidea.

Topologia Discreta

La topologia discreta è indotta dalla distanza discreta, definita così:
$d (x, y) = {10 se x \neq = y se x = y$

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British Rail Express Metric (SNCF Metrica)

British Rail Express Metric

Sia $X = R^{2}$ e $δ : R^{2} \to R$ definita come:
$δ (x, y) = {\underline{0} d (x, \underline{0}) + y (y, \underline{0}) se x = y se x \neq = y$
Si dimostra che soddisfa le proprietà di metrica.
Le palle aperte di $δ$ sono del tipo:
$B_{d} (x, r) = ⎩ ⎨ ⎧ B_{d} (\underline{0}, r) {x} {x} \cup B_{d} (\underline{0}, r - d (x, \underline{0})) se x = \underline{0} se x \neq = \underline{0} \land r < d (x, \underline{0}) se x \neq = \underline{0} \land r \geq d (x, \underline{0})$

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6.2 Topologie indotte da Metriche

Topologia indotta da una metrica

Topologia indotta da una metrica

Sia $X \neq = \emptyset$ Sia $d (x, y)$ una metrica.
La topologia indotta $τ_{d}$ dalla metrica è quella generata dalla base $β = {B_{r} (x) ∣ x \in X, r \in R^{+}}$

Metrica discreta

Le palle aperte definite sulla metrica discreta su $X$ $d (x, y) = {01 se x = y se x \neq = y$ sono del tipo ${X {x} se r > 1 se r \leq 1$
Osservo che tutti i singoletti sono aperti, quindi anche la loro unione è un aperto. Ciò significa che la topologia indotta dalla metrica discreta contiene tutti i sottoinsiemi di $X$ , dunque è la topologia discreta $(X, P (X))$

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Le topologie indotte sono I-numerabili

Le topologie indotte sono I-numerabili

Sia $X \neq = \emptyset$ e $d (x, y)$ una metrica su $X$ . Sia $τ_{d}$ la topologia indotta.
Allora $τ_{d}$ è I-numerabile

Dim

Considero $U (x) = {B_{1/ n} (x) ∣ x \in X, n \in N^{+}}$ .
Dimostro che è sistema fondamentale di intorni.
Sia $A \in τ_{d}$ tale che $x \in A$ . Allora $\exists r > 0 ∣ B_{r} (x) \subseteq A$ poiché $τ_{d}$ ha come base l’insieme di tutte le palle aperte di $d$ . Per il principio di archimede, $\exists n \in N^{+}$ tale che $\frac{1}{n} < r$ . Ho trovato dunque un elemento di $U (x)$ contenuto in $A$ .
Dall’arbitrarietà di $x$ e di $A$ perviene la tesi.

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Lemma sulle Metriche e Confronto tra Topologie

Proposizione

Siano $d, d^{'}$ metriche su $X$ . Allora risulta che
$τ_{d} \subseteq τ_{d^{'}} ⟺ \forall x \in X, \forall ε > 0 : \exists δ > 0 ∣ B_{d} (x, δ) \subseteq B_{d^{'}} (x, ε)$

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Teorema sulla Metrica euclidea, Distanza Chebyshev e Topologia Prodotto

Teorema

Le topologie indotte dalla metrica euclidea $d$ e dalla metrica di chebyshev $p$ sono uguali alla topologia prodotto su $R^{n}$ .

Dimostrazione

Per verificare l’uguaglianza, devo far vedere che ogni aperto di una topologia è contenuto da un aperto dell’altra topologia e viceversa.
Dimostro prima di tutto che le metriche $p$ e $d$ sono equivalenti, ossa inducono la stessa topologia.
Siano $x = (x_{1}, \dots, x_{n}), y = (y_{1}, \dots, y_{n}) \in R^{n}$ . Risulta che:
$p (x, y) \leq d (x, y) \leq n \cdot p (x, y)$
infatti, considerato $a_{i} = ∣ x_{i} - y_{i} ∣$ , si ha che
$d (x, y)^{2} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{n} max_{1 \leq i \leq n} {a_{i}}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} p (x, y) = n \cdot p (x, y)^{2}$
Ottengo dunque $d (x, y) \leq n p (x, y)$ .
Inoltre vale:
$p (x, y)^{2} = 1 \leq i \leq n max {a_{i}^{2}} \leq i = 1 \sum n a_{i}^{2} = d (x, y)^{2} ⟹$
$⟹ p (x, y) \leq d (x, y) \leq n \cdot p (x, y)$
Ho dimostrato dunque che le metriche sono equivalenti:
$B_{d} (x, ε) = {y \in R^{n} ∣ d (x, y) < ε}$ e $B_{p} (x, ε) = {y \in R^{n} ∣ p (x, y) < ε}$ .
Quindi se $d (x, y) < ε ⟹ p (x, y) \leq d (x, y) < ε$ da cui $B_{d} (x, ε) \subseteq B_{p} (x, ε)$
(non il viceversa perché se $p (x, y) < ε$ non è detto che $d (x, y) < ε$ quindi non tutti i punti di $B_{p}$ sono anche punti di $B_{d}$ a parità di $ε$ )
Viceversa se $p (x, y) < ε ⟹ d (x, y) < \frac{ε}{n}$ quindi $B_{p} (x, ε) \subseteq B_{d} (x, \frac{ε}{n})$

Dimostro ora che la topologia indotta da $p$ è uguale alla topologia prodotto.
Sia $B = (a_{1}, b_{1}) \times (a_{2}, b_{2}) \times \dots \times (a_{n}, b_{n})$ e sia $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \in B$
Allora $\forall i = 1 \dots n, \exists ε_{i} > 0 ∣ (x_{i} - ε_{i}, x_{i} + ε_{i}) \subseteq (a_{i}, b_{i})$
Quindi, scelto $ε = min {ε_{1}, \dots, ε_{n}}$ risulta che $B_{p} (x, ε) \subseteq B$ .
(Ossia: $(x_{1} - ε, x_{1} + ε) \times \dots \times (x_{n} - ε, x_{n} + ε) \subseteq (a_{1}, b_{1}) \times \dots \times (a_{n}, b_{n})$ )
Per l’altra inclusione mi basta prendere $ε = max ε_{i}$

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6.3 Metrica e Topologia Uniforme

Metriche e $R^{ω}$

Consideriamo $R^{ω}$ , se cerchiamo di generalizzare $d (x, y)$ e $p (x, y)$ rischiamo che non siano ben definite. Infatti, posti $x = (x_{1}, x_{2}, \dots)$ e $y = (y_{1}, y_{2}, \dots) \in R^{ω}$ :
$d (x, y) = i = 1 \sum \infty ∣ x_{i} - y_{i} ∣^{2}$ potrebbe divergere, proprio come $p (x, y) = i \in N sup {∣ x_{i} - y_{i} ∣}$ .

Metrica Uniforme

Metrica Uniforme

Considero $d (x, y)$ su $R$ , si chiama metrica uniforme la funzione $\overline{d} (x, y) = min {d (x, y), 1}$ .
Osservo che $\overline{d}$ soddisfa le proprietà delle distanze

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Metrica Uniforme su R^J

Metrica Uniforme su $R^{J}$

Sia $J$ un’insieme di indici, e siano $x = (x_{a})_{a \in J}, y = (y_{a})_{a \in J}$ .
Definisco $\overline{p} := a \in J sup {\overline{d} (x_{a}, y_{a})}$ come la metrica uniforme su $R^{J}$
Questa è una generalizzazione della metrica uniforme.

Dim

Dimostro che è una metrica:
Le proprietà 1, 2 e 3 sono ovvie, dimostro la disugaglianza triangolare:
Siano $x, y, z \in R^{J}$ : poiché la dis. triangolare vale per $\overline{d}$ , si ha che:
$\overline{p} (x, z) = a \in J sup {\overline{d} (x_{a}, z_{a})} \leq a \in J sup {\overline{d} (x_{a}, y_{a}) + \overline{d} (y_{a}, z_{a})} \leq$
$\leq a \in J sup {\overline{d} (x_{a}, y_{a})} + a \in J sup {\overline{d} (y_{a}, z_{a})} = \overline{p} (x, y) + \overline{p} (y, z)$

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Topologia Uniforme

Topologia Uniforme

La metrica uniforme induce una topologia chiamata Topologia Uniforme

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Confronto tra Topologia Uniforme e Topologia Prodotto

La Topologia Uniforme è più Fine della Topologia Prodotto

Se $J$ è infinito, la topologia uniforme è più fine della topologia prodotto. Se $∣ J ∣ < + \infty$ allora le due topologie coincidono.

Dimostrazione

Sia $x = (x_{α})_{α \in J}$ Considero un’aperto di $R^{J}$ con $J$ infinito centrato in $x$ . Tale aperto è del tipo $U = α \in J \prod U_{α}$ , dove $U_{α} = R$ da un certo $α$ in poi (ossia definitivamente).
Sia ${α_{1}, \dots, α_{n}}$ l’insieme finito degli indici per il quale $U_{α_{i}} \neq = R$ .
$\forall i = 1 \dots n$ scelgo $ε_{i} > 0$ tale che $B_{\overline{d}} (x_{α}, ε_{i}) \subseteq U_{α_{i}}$ e definisco $ε = min {ε_{1}, \dots, ε_{n}}$ .
Osservo che $\forall α \in J : B_{\overline{d}} (x_{α}, ε) \subseteq U_{α}$ , dunque $B_{\overline{p}} (x_{α}, ε) \subseteq U$ . Per il Lemma sulle Metriche e Confronto tra Topologie si ha la tesi, dato che per ogni aperto generico di $τ_{prod}$ ho trovato un aperto della topologia uniforme.

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Teorema sulla Topologia Prodotto Indotta dalla D Metrica

Topologia Prodotto Indotta dalla $D$ Metrica

Sia $\overline{d} (x, y) = min {d (x, y), 1}$ la metrica uniforme su $R$ . Se $x = (x_{i}), y = (y_{i}) \in R^{ω}$ , definisco $D (x, y) = sup {\frac{d ( x _{i} , y _{i} )}{i}}$ .
Risulta che $D$ è una metrica e induce la topologia prodotto $τ_{prod}$ .

Dimostrazione

Ѐ necessario dimostrare che $D$ è metrica. I primi 3 assiomi sono ovvi, dimostro che vale la dis. triangolare.
Siano $x, y, z \in R^{ω}$ :
$D (x, z) = sup {\frac{d ( x _{i} , z _{i} )}{i}} \leq sup {\frac{d ( x _{i} , y _{i} ) + d ( y _{i} , z _{i} )}{i}} \leq$
$sup {\frac{d ( x _{i} , y _{i} )}{i}} + sup {\frac{d ( y _{i} , z _{i} )}{i}} = D (x, y) + D (y, z)$
Dunque $D (x, y)$ è una metrica.
Per dimostrare che $D$ induce $τ_{prod}$ , applico il Lemma sulle Metriche e Confronto tra Topologie in entrambe le direzioni.
Provo innanzitutto che la topologia prodotto è più fine della topologia indotta da $D$ .
Sia $U$ un aperto di $τ_{D}$ e $x \in U$ . Devo trovare $V \in τ_{prod} ∣ x \in V \subseteq U$
Sia $B_{D} (x, ε) \subseteq U$ per qualche $ε > 0$ .
Sia $N \in N ∣ \frac{1}{N} < ε$ .
Considero $V = (x_{1} - ε, x_{1} + ε) \times \dots \times (x_{N} - ε, x_{N} + ε) \times R \times R \times \dots$ .
Ovviamente $x \in V$ , quindi resta da dimostrare che $V \subseteq U$ .
In generale vale che se $y \in R^{ω} ⟹ \frac{d ( x _{i} , y _{i} )}{i} \leq \frac{1}{N}, \forall i \geq N$ (perché il numeratore al massimo può essere 1, mentre il numeratore è maggiore di $N$ ).
Dunque $D (x, y) = sup {\frac{d ( x _{i} , y _{i} )}{i}} \leq max {\frac{d ( x _{1} , y _{i} )}{1}, \frac{d ( x _{2} , y _{2} )}{2}, \dots, \frac{1}{N}}$
Se $y \in V ⟹ \forall i = 1 \dots N : \frac{d ( x _{i} , y _{i} )}{i} < ε$ e $\frac{1}{N} < ε$ , allora $D (x, y) < ε$ quindi $y \in B_{D} (x, ε)$ .
(in pratica ponendo $\frac{1}{N} < ε$ , mi sono assicurato che i punti di $V$ abbiano distanza $D (x, y) < ε$ )
Proviamo adesso che ogni aperto della topologia prodotto contiene un aperto della topologia indotta da $D$ .
Sia $U = i \in Z_{+} \prod U_{i}$ di $τ_{prod}$ , dove $U_{α_{i}}$ è un aperto di $R$ per $α_{i} \in {α_{1}, \dots, α_{n}} ⊊ Z_{+}$ e $U_{α_{i}} = R$ $\forall α_{i} \in Z ∖ {α_{1}, \dots α_{n}}$ .
In altre parole sto facendo in modo che $U_{α_{i}} = R$ definitivamente (per come sono fatti gli aperti di $τ_{prod}$ ).
$\forall i = α_{1} \dots α_{n}$ fisso un $ε_{i} < 1$ tale che $(x_{i} - ε_{i}, x_{i} - ε_{i}) \subseteq U_{α_{i}}$
Definisco $ε = min {\frac{e _{i}}{i}}$ .
Osservo che $\forall y \in B_{D} (x, ε) : \frac{d ( x _{i} , y _{i} )}{i} \leq D (x, y) < ε < \frac{ε _{i}}{i} < 1$
Quindi $\forall i = α_{1}, \dots, α_{n} : y_{i} \in U_{i} = (x_{i} - ε_{i}, x_{i} - ε_{i})$ .
Per gli altri indici ovviamente $y_{i} \in U_{α} = R$ .
Concludo che $B_{D} (x, ε) \subseteq U$ .
Ho provato quindi che la topologia indotta dal $D$ e la topologia prodotto sono uguali.

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6.4 Continuità

Teorema sulla Continuità di Mappe tra Spazi Metrici

Continuità delle funzioni tra Spazi Metrici

Siano $(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ due spazi metrici.
Una funzione $f : X \to Y$ è continua $⟺ \forall ε > 0 \exists δ > 0 ∣ d_{X} (x, y) < δ ⟹ d_{Y} (f (x), f (y)) < ε$

Dimostrazione

Se $f$ è continua allora $f^{- 1} (B (f (x), ε))$ è aperto in $X$ .
Allora $\exists δ > 0 ∣ B (x, δ) \subseteq f^{- 1} (B (f (x), ε))$ .
Dunque $y \in B (x, δ) ⟹ f (y) \in f^{- 1} (B (f (x), ε))$

Suppongo che valga la condizione metrica $ε - δ$ . Voglio dimostrare che $f$ è continua in senso topologico.
Sia $V$ un aperto di $Y$ . Considero la controimmagine $U = f^{- 1} (V)$ .
Devo dimostrare che $U$ è aperto in $X$ , ovvero che per ogni suo punto esiste un intorno contenuto in $U$ .

Sia $x \in U$ . Per definizione $f (x) \in V$ .
Poiché $V$ è aperto, $\exists ε > 0$ tale che la palla $B_{Y} (f (x), ε) \subseteq V$ .

Per l’ipotesi iniziale, in corrispondenza di questo $ε$ , $\exists δ > 0$ tale che:
$d_{X} (x, y) < δ ⟹ d_{Y} (f (x), f (y)) < ε$
In termini insiemistici, questo significa che l’immagine della palla di raggio $δ$ cade nella palla di raggio $ε$ : $f (B_{X} (x, δ)) \subseteq B_{Y} (f (x), ε)$
Unendo le inclusioni ottengo $f (B_{X} (x, δ)) \subseteq B_{Y} (f (x), ε) \subseteq V$
Applicando la controimmagine $B_{X} (x, δ) \subseteq f^{- 1} (V) = U$
Poiché $\forall x \in U$ ho trovato un raggio $δ$ tale che $B_{X} (x, δ) \subseteq U$ , concludo che $U$ è aperto.

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Lemma della Successione

Lemma della Successione

Sia $X$ uno spazio metrico e sia $A \subseteq X$ .
Supponiamo che esiste una successione $x_{n}$ in $A$ convergente a $x$ . Allora $x \in \overline{A}$ .
Il viceversa vale se $X$ è metrizzabile

Dim

Se $x_{n} \to x$ allora ogni intorno di $x$ ha almeno un punto di $A$ , quindi $x \in \overline{A}$ in base alla Teorema sui Punti di Aderenza.
Viceversa supponiamo che $X$ sia metrizzabile.
Sia $d$ la distanza che induce tale topologia e sia $x \in \overline{A}$
Considero $\forall n \in Z_{+}$ l’intorno $B_{d} (x, \frac{1}{n})$ . Scelgo $x_{n} \in A \cap B_{d} (x, \frac{1}{n})$ (posso perche $x$ è di aderenza). Ho trovato $x_{n} \to x$ .

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6.5 Convergenza

Teorema Sulle Successioni Convergenti e Funzioni Continue

Teorema

Sia $f : X \to Y$ e $X$ è spazio topologico una mappa continua, allora $\forall x_{n} \to n$ successione convergente, allora $f (x_{n}) \to f (x)$ .
Il viceversa vale se $X$ è metrizzabile.

Dim

Suppongo che $f$ sia continua e sia $x_{n} \to x$ .
Sia $V$ tale che $f (x) \in V$ . Allora $f^{- 1} (V)$ è intorno di $x$
Pertanto $\exists N \in N$ tale che $x_{n} \in f^{- 1} (V)$ , e quindi $\forall n \geq N$ risulta che $x_{n} \in f^{- 1} (V) ⟹ f (x_{n}) \in V$
(bisogna ricordarsi che $x_{N} \to x ⟺ \forall V$ intorno di $x : \exists N \in N ∣ n \geq N : x_{n} \in V$ ).
Viceversa supponiamo $\forall x_{n} \to n$ successione convergente, allora $f (x_{n}) \to f (x)$ e $X$ è metrizzabile.
Dobbiamo provare che se $A \subseteq X$ allora $f (\overline{A}) \subseteq \overline{f (A)}$
per il Lemma della Successione si ha che se $x \in \overline{A}$ allora $\exists x_{n} \to x$ . Ma per ipotesi $f (x_{n}) \to f (x) \in \overline{A}$ . Pertanto $f (x) \in \overline{f (A)})$
Quindi per la Caratterizzazione delle Mappe Continue si ha che $f$ è continua.

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Convergenza Uniforme

Convergenza Uniforme

Sia $f_{n} : X \to Y$ una successione di funzioni con $(Y, d)$ spazio metrico e sia $f : X \to Y$ .
Se $\forall ε > 0 : \exists N \in N ∣ \forall n > N, \forall x \in X : d (f_{n} (x), f (x)) < ε$ allora si dice che $f_{n}$ converge unformemente a $f$ .

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Teorema del Limite Uniforme

Teorema del Limite Uniforme

Sia $f_{n}$ una successione di funzioni da $X$ spazio topologico a $Y$ spazio metrico.
Se $f_{n}$ converge uniformemente a $f$ , allora $f$ è continua

Dim

Sia $V \subseteq Y$ , aperto, vogliamo dimostrare che $f^{- 1} (V)$ è aperto in $X$ .
Sia $x_{0} \in f^{- 1} (V)$ , cerco un intorno $U \subseteq X$ di $x_{0}$ tale che $f (U) \subseteq V ⟹ U \subseteq f^{- 1} (V)$ .

Sia $y_{0} = f (x_{0})$ e sia $ε > 0$ tale che $B (y_{0}, ε) \subseteq V$
Per la uniforme convergenza di $f_{n}$ si ha che $\exists N \in N ∣ \forall n > N : d (f_{N} (x), f (x)) < \frac{ε}{3} \forall x \in X$ .
Poiché $f_{N}$ è continua (per ipotesi), scelgo $U$ intorno di $x_{0}$ tale che $f_{N} (U) \subseteq B (f_{N} (x_{0}), \frac{ε}{3})$
Pertanto si ha che se $f (x) \in f (U)$
$d (f (x), f (x_{0})) \leq Unif. Convergenza d (f (x), f_{N} (x)) + Continuit \overset{a}{ˋ} di f_{N} d (f_{N} (x), f_{N} (x_{0})) + Unif. Convergenza d (f_{N} (x_{0}), f (x_{0})) < \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε$
Quindi $d (f (x), f (x_{0})) < ε ⟹ f (x) \in B (f (x_{0}), ε)$ , da cui $f (U) \subseteq V ⟹ U \subseteq f^{- 1} (V)$
Per l’arbitrarietà di $x_{0}$ segue la tesi.

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7. Spazi di Haussdorf e Assiomi di Separazione

7.1 Definizione

Hausdorff

Spazio Topologico di Hausdorff

Uno spazio topologico $X$ si dice di Hausdorff se $\forall p, q \in X ∣ p \neq = q$ esiste un intorno aperto $U$ di $p$ e un intorno $V$ di $q$ tali che $U \cap V = \emptyset$

$(R, E)$ e $R^{2}, E$ sono di Hausdorff:

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Assiomi di Separazione

Assiomi di separazione $T_{1}$ e $T_{2}$

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico.

$\forall p \in X : {p}$ è chiuso $:=: X$ è $T_{1}$

$X$ è di Hausdorff $:=: X$ è $T_{2}$

Vale l’implicazione $2. ⟹ 1.$ per questo teorema

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7.2 Proprietà

Teorema di Unicità del Limite in Spazi di Hausdorff

Teorema di Unicità del Limite

Se $(X, τ)$ spazio topologico è di Hausdorff, allora ogni successione $(x_{n})_{n \in N}$ converge al più a un punto.

Dimostrazione

Supponiamo che $x_{n}$ sia una successione convergente a $x \in X$ e a $y \in X$ con $x \neq = y$ .
Allora poiché $X$ è di Hausdorff, allora $\exists U_{x}, U_{y}$ intorni aperti rispettivamente di $x$ e $y$ tali che $U_{x} \cap U_{y} = \emptyset$ .
Per definizione di limite di successione, $\exists N \in N ∣ \forall n > N : x_{n} \in U_{x}$ . Ma allora $x_{n}$ non può convergere a $y \in U_{y}$ , da cui l’assurdo.

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I singoletti sono Chiusi Negli Spazi Hausdorff

Teorema

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico di Hausdorff. Allora gli insiemi ${p} ∣ p \in X$ sono chiusi.

Dimostrazione

Sia $p \in X$ e considero ${p} ⟹ ∁_{X} {p} = X ∖ {p}$ .
Poiché $X$ è di Hausdorff, allora $\forall q \in X ∖ {p} : \exists U$ intorno aperto di $q$ tale che $(X ∖ {p}) \cap U = \emptyset .$ Pertanto $X ∖ {p}$ è intorno di tutti suoi punti e per la caratterizzazione degli aperti $X ∖ {p}$ è aperto, dunque ${p}$ è chiuso.

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Proprietà degli Spazi di Hausdorff

Proprietà

Il prodotto tra due spazi di Hausdorff è $T_{2}$

Ogni sottospazio di uno spazio $T_{2}$ è $T_{2}$

Dimostrazione della proprietà 1.

Siano $X, Y$ spazi topologici $T_{2}$ . Siano $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in X \times Y$ tali che $(x_{1}, y_{1}) \neq = (x_{2}, y_{2})$ .
Senza perdere di generalità, si può assumere che $x_{1} \neq = x_{2}$ .
Poiché $X$ è di Hausdorff, allora $\exists U_{1}, U_{2} \subseteq X$ intorni aperti rispettivamente di $x_{1}$ e $x_{2}$ tali che $U_{1} \cap U_{2} = \emptyset$ .
Scelgo $U_{1} \times Y, U_{2} \times Y \in τ_{prod}$ intorni di $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ .
Risulta che $(U_{1} \times Y) \cap (U_{2} \times Y) = \emptyset$ , pertanto $X \times Y$ è di Haussdorf.

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Caratterizzazione degli Spazi di Hausdorff

Caratterizzazione degli Spazi di Hausdorff

Sia $X$ spazio topologico. Allora vale la seguente equivalenza:

$X$ è $T_{2}$

$Δ = {(x, x) \in X \times X}$ è chiuso in $X \times X$

$1. ⟹ 2.$

Suppongo che $X$ sia di Hausdorff, dimostro che $Δ$ è chiuso, cioè che $Δ^{C} = ∁_{X \times X} Δ$ è aperto.
Sia $(p, q) \in Δ^{C} ⟹ p \neq = q$ . Poiché $X$ è $T_{2}$ , allora $\exists U_{p}, U_{q} \subseteq X$ intorni aperti di $p, q$ tali che $U_{p} \cap U_{q} = \emptyset$ .
Osservo che $U_{p} \times U_{q} \in τ_{prod}$ in quanto prodotto cartesiano di due aperti.
Risulta che $\forall (x, y) \in U_{p} \times U_{q} : x \neq = y$ , dunque $(U_{p} \times U_{q}) \cap Δ = \emptyset ⟹ U_{p} \times U_{q} \subseteq Δ^{C}$
Per l’arbitrarietà di $p$ e $q$ , risulta che $Δ^{C}$ è aperto, dunque $Δ$ è chiuso.

$2. ⟹ 1.$

Supponiamo viceversa che $Δ$ sia chiuso, ossia che $Δ^{C}$ è aperto.
Siano $p, q \in X ∣ p \neq = q ⟹ (p, q) \in Δ^{C}$ .
Allora $\exists A \subseteq Δ^{C}$ aperto tale che $(p, q) \in A$ , ossia che $\exists M, N$ aperti per $X$ che contengono rispettivamente $p, q .$
Quindi $M$ è intorno di $p$ e $N$ è intorno di $q$ e risulta che $M \cap N = \emptyset$ , poiché $M \times N \subseteq Δ^{C}$ .
Ho trovato due intorni aperti disgiunti di $p$ e $q$ , dunque $X$ è di Hausdorff

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8. Quozienti

8.1 Mappa quoziente e Relazioni di Equivalenza

Mappa Quoziente

Mappa Quoziente

$p : (X, τ) \to (Y, τ^{'})$ è una mappa quoziente se $p$ è suriettiva e se
$\forall U \in Y : U \in τ^{'} ⟺ p^{- 1} (U) \in τ$

Osservazione

Se $p : (X, τ) \to (Y, τ^{'})$ è suriettiva, continua e aperta, allora $p$ è una mappa quoziente

Esempio di Mappa Quoziente

$S^{1} := {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} = 1}$
Sia $X = [0, 1]$ dotato di $E_{[0, 1]}$ e sia
$p : [0, 1] \to S^{1} \subseteq R^{2}$ tale che $t ⟼ (cos (2 π t), sin (2 π t)) = e^{2 πi t}$
Risulta che:

$p$ è continua, perché lo sono $sin$ e $cos$ e vale il Teorema sulle funzioni continue e topologia prodotto

$p$ è suriettiva per le proprietà di $sin$ e $cos$

$p$ è una mappa quoziente

$p$ non è aperta, infatti se $A = [0, \frac{1}{3})$ che è aperto nel sottospazio $E_{[0, 1]}$ , $p (A) = {e^{2 πi t} ∣ t \in [0, \frac{1}{3})} \neq \in E_{S^{1}}$

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Insieme Saturo rispetto a una Relazione

Insieme Saturo

Sia $X$ un insieme e $R$ una relazione di equivalenza e sia $A \subseteq X$ .
Esso si dice saturo se $x \in A, y \in X ∣ x \sim y ⟹ y \in A$ .

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8.2 Topologia Quoziente

Topologia Relativa a una Mappa Quoziente

Teorema

Sia $(X, τ)$ spazio topologico e $Y$ insieme, sia $p : X \to Y$ suriettiva.
Allora $\exists! τ^{'}$ topologia tale che $p$ è mappa quoziente.

Dimostrazione

Definisco $τ^{'} = {A \subseteq Y ∣ p^{- 1} (A) \in τ}$
Devo dimostrare che $τ^{'}$ è topologia.

$p$ è suriettiva $⟹ p (X) = Y ⟹ X \subseteq p^{- 1} (Y) ⟹ p^{- 1} (Y) \in τ$
$p^{- 1} (\emptyset) = \emptyset \in τ$

Sia ${A_{i}}_{i \in I}$ una famiglia di insiemi di $τ^{'}$ , dunque $\forall i \in I : p^{- 1} (A_{i}) \in τ$ .
Pertanto $i \in I ⋃ p^{- 1} (A_{i}) = p^{- 1} (i \in I ⋃ A_{i}) \in τ$ . Pertanto $i \in I ⋃ A_{i} \in τ^{'}$

Siano $A_{1}, A_{2} \in τ^{'}$ , da cui $p^{- 1} (A_{1}), p^{- 1} (A_{2}) \in τ ⟹ p^{- 1} (A_{1}) \cap p^{- 1} (A_{2}) \in τ ⟹ p^{- 1} (A_{1} \cap A_{2}) \in τ$ .
Quindi $A_{1} \cap A_{2} \in τ^{'}$

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Topologia Quoziente

Topologia Quoziente

Sia $X$ uno spazio topologico e $\sim$ una relazione di equivalenza su $X$ .
Sia $π : X \to^{X} /_{\sim}$
Allora esiste una topologia $τ^{'} = {U \in^{X} /_{\sim} ∣ π^{- 1} (U) \in τ}$ in virtù del Teorema sulla Topologia Relativa a una Mappa Quoziente. Tale topologia si chiama Topologia Quoziente

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Costruzione delle Funzioni Composte

Osservazione

Considero $f : X \to Y$ mappa quoziente e sia $α : X \to Z$ .
Quando $\exists \overline{α} : Y \to Z$ tale che $\overline{α} \circ f = α$ ?
Potrei costruire tale funzione tale che $\forall y \in Y : \overline{α} (y) = α (x)$ con $x \in X ∣ f (x) = y$ .
Tuttavia questo non è ben definito, perché se c’è un $x^{'} ∣ f (x^{'}) = y$ non è detto che $\overline{α} (y) = α (x^{'})$
É necessario dunque che $\forall x, x^{'} \in X : f (x) = f (x^{'}) = y ⟹ (1) α (x) = α (x^{'})$
Dunque definisco $\overline{α}$ in modo tale che:
$\forall y \in Y$ , sia $x \in X ∣ f (x) = y$ allora $\overline{α} (y) := α (x)$
Se $f (x^{'}) = f (x) = y$ , per la $(1)$ vale $α (x) = α (x^{'})$
In tal caso $\exists! \overline{α} : Y \to Z$ tale che $\overline{α} \circ f = α$

Inoltre se $α$ è continua, allora anche $\overline{α}$ è continua.

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Unicità della Topologia Quoziente

Unicità della Topologia Quoziente

Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico e siano
$f_{1} : (X, τ) \to (Y_{1}, τ_{1})$
$f_{2} : (X, τ) \to (Y_{2}, τ_{2})$
Se $\forall x, x^{'} \in τ : f_{1} (x) = f_{1} (x^{'}) ⟺ f_{2} (x) = f_{2} (x^{'})$ , ossia vale $(1)$ in entrambe le direzioni
Allora $\exists! ϕ : Y_{1} \to Y_{2}$ e $ϕ$ omeomorfismo.

Dimostrazione

Per la proposizione di passaggio al quoziente risulta che $\exists! ϕ : (Y_{1}, τ_{1}) \to (Y_{2}, τ_{2})$ ed $\exists! ψ : (Y_{1}, τ_{1}) \to (Y_{2}, τ_{2})$ tali che:

$ϕ \circ f_{1} = f_{2}$

$ψ \circ f_{2} = f_{1}$

Pertanto $ψ \circ = f_{2} ϕ \circ f_{1} = f_{1}$ e anche $ϕ \circ = f_{1} ψ \circ f_{2} = f_{2}$
Dunque $ϕ \circ ψ = i d_{Y_{1}}$ e $ψ \circ ϕ = i d_{Y_{2}}$

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Esempio sull'unicità della Topologia Quoziente

Esempio 1

$(X, τ) = ([0, 1], E_{[0, 1]})$
Sia $\sim$ una relazione di equivalenza tale che $\forall t, s \in [0, 1] : t \sim s ⟺ x = s \lor t, s \in {0, 1}$ (ossia identifica i bordi del segmento)
Consideriamo $f_{1} : X \to S^{1}$ tale che $t ⟼ e^{2 π t i}$ (dall’esempio della mappa quoziente)
$f_{2} : X \to^{X} /_{\sim}$ tale che $t \in [0, 1] ⟼ [t]$
Risulta che $f_{1} (t) = f_{1} (s) ⟺ e^{2 πi s} = e^{2 πi t} ⟺ s - t \in Z ⟺ s = t \lor s, t \in {0, 1}$ . L’ultima doppia implicazione vale perché $s, t \in [0, 1]$
Le condizioni del Teorema sull Unicità della Topologia Quoziente sono verificate, per cui $\exists ϕ : S^{1} ⟼^{X} /_{\sim}$ omeomorfismo

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Toro

Toro

Definizione 1

L’insieme $T^{n} := n volte S^{1} \times \dots \times S^{1}$ è chiamato toro

Definizione 2 (versione astratta)

Sia $I = [0, 1]$ . Su $I \times I$ definisco la relazione di equivalenza:
$p \sim q ⟺ p, q \in bordi orizzontali {(s, 0), (s, 1)} \lor bordi verticali {(0, t), (1, t)} \lor p = q$

Il toro è definito come l’insieme $T :=^{I \times I} /_{\sim}$ e risulta omeomorfo a $T^{2} = S^{1} \times S^{1}$ .
Infatti, definisco $F : I \times I \to T^{2}$ tale che
$(s, t) \in I \times I ⟼ (e^{2 πi s}, e^{2 πi t})$
Si dimostra che $F$ è una mappa quoziente e inoltre vale che:
$\forall (t, s), (t^{'}, s^{'}) \in I \times I : F (t, s) = F (t^{'}, s^{'}) ⟺ (t, s) \sim (t^{'}, s^{'})$
Dunque per il teorema sull’Unicità della Topologia Quoziente si ha che $T^{2}$ è omeomorfo a $^{I \times I} /_{\sim}$

Definizione 3

$^{R^{2}} /_{Z^{2}} :=^{R^{2}} /_{\sim}$ dove $\sim$ è la relazione di equivalenza tale che $(t, s) \sim (t^{'}, s^{'}) ⟺ t - t^{'} \in Z, s - s^{'} \in Z$
Anche questo toro è omeomorfo a $T^{2}$

Definizione 4 $R^{3}$ In $R^{3}$ prendiamo la circonferenza perpendicolare all'asse $y$ di raggio $r < R$ e centrata in $(R, 0, 0)$ $C : ⎩ ⎨ ⎧ x = R + r cos θ y = 0 z = r sin θ$ Se le facciamo un moto di rivoluzione attorno all'asse $y$ , le coordinate $z$ non variano, mentre $x$ e $y$ variano: $⎩ ⎨ ⎧ x = (R + r cos θ) cos φ y = (R + r cos θ) sin φ z = r sin θ$ Tale parametrizzazione descrive il toro, che può essere definito anche così: $x^{2} + y^{2} = (R + r cos θ)^{2} ⟹ x^{2} + y^{2} = R + r cos θ ⟹$ $⟹ (x^{2} + y^{2} - R)^{2} = r^{2} cos^{2} θ = r^{2} (1 - sin^{2} θ) = r^{2} - r^{2} sin^{2} θ = r^{2} - z^{2} ⟹$ $(x^{2} + y^{2} - R)^{2} + z^{2} = r^{2}$ Dunque $T = {(x, y, z) \in R^{3} (x^{2} + y^{2} - R)^{2} = r^{2}}$

Il toro è una superficie di rivoluzione in

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8.3 Pushout

Incollamento di spazi (pushout)

Incollamento di spazio

É possibile “incollare” due spazi topologici $X$ e $Y$ lungo l’immagine di un “sottoinsieme” comune $A$ mediante due mappe continue $f : A \to X, g : A \to Y$ .
Definisco la relazione di equivalenza $\sim$ è definita identificando $f (a) \sim g (a) \forall a \in A$ , il pushout $X \cup_{A} Y =^{(X ⊔ Y)} /_{\sim}$
Si possono definire due applicazioni continue:
$\begin{align} \\ i_{X}:X\to X&\cup_{A}Y \\ &\longmapsto\text{un modo per incollare spazi topologici} \\ i_{Y}:Y\to X&\cup_{A}Y \\ \end{align}$

Esempio di pushout

Proprietà Fondamentale

Sia $Z$ uno spazio topologico e siano $F : X \to Z$ e $G : Y \to Z$ funzioni continue tali che $F (f (a)) = G (g (a))$ .
Allora $\exists! F \cup_{A} G : X \cup_{A} Y \to Z$ tale che il seguente diagramma è commutativo

Inoltre $(F \cup_{A} G) \circ i_{X} = F$ e $(F \cup_{A} G) \circ i_{Y} = G$ , pertanto $F \cup_{A} G$ è compatibile rispetto alla relazione di equivalenza $\sim$

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Orecchino Hawaiiano

Orecchino Hawaiiano

Considero l’insieme di cerchi con centro $(\frac{1}{n}, 0)$ , e raggio $\frac{1}{n}$
Definisco $X := n \in N ⋃ {(x, y) \in R ∣ C_{n} (x - \frac{1}{n})^{2} + y^{2} = \frac{1}{n ^{2}}}$
$X$ può essere definito come $i = 1 ⨆ \infty^{(0, 1)} /_{\sim}$ con $\sim$ la relazione di equivalenza che identifica $0$ con $1$
$X$ è anche uguale a $n \in N ⋁ S_{n}^{1}$
Posso descrivere un cammino su $C_{n}$ mediante la mappa $l_{n} : [0, 1] \to C_{n}$ tale che $t ⟼ (\frac{1}{n} cos (2 π t - π) + \frac{1}{n}, \frac{1}{n} sin (2 π t - π))$ mentre il loop inverso $l_{n}^{- 1} (t) = l_{n} (1 - t)$
Se considero la semiretta orizzontale positiva: $A = {(x, 0) \in R^{2} ∣ x > 0}$
I punti di $A$ intersecano ogni circonferenza esattamente una volta:
$A \cap C_{n} : (x - \frac{1}{n})^{2} + 0^{2} = (\frac{1}{n})^{2} ⟹ x = \frac{2}{n}$ .
Dunque $S := A \cap X = {(\frac{2}{n}, 0) ∣ n \in N}$ .
Risulta che $S$ non è chiuso nella topologia indotta da $X$ . Infatti se lo fosse, conterrebbe i suoi punti di accumulazione. Infatti, considerando la successione ${(\frac{2}{n}, 0)}_{n \in N} \subseteq S$ tende al punto $(0, 0) \neq \in S$ .

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8.4 Mappe quozienti e Sottospazi

Teorema sulle Mappe Quozienti per Topologie Indotte

Mappa Quoziente e Topologia Indotta

Sia $A \subseteq X$ un qualsiasi insieme e $p : X \to Y$ una mappa quoziente.
Restringo $p$ ad $A$ , ottenendo la funzione $(p_{∣ A})_{#} : A \to p (A) \subseteq Y$
Non è detto che $(p_{∣ A})_{#}$ sia mappa quoziente.

Teorema

Sia $p : X \to Y$ una mappa quoziente e sia $A$ un sottoinsieme saturo di $X$ . Posto $(p_{∣ A})_{#} =: q : A \to p (A)$ , allora

Se $A$ è aperto (o chiuso) allora $q$ è mappa quoziente.

Se $q$ è aperta o chiusa allora $q$ è mappa quoziente.

Dimostrazione

Per ottenere la tesi, dimostriamo le seguenti uguaglianze:

$q^{- 1} (V) = p^{- 1} (V)$ se $V \subseteq p (A)$

$p (U \cap A) = p (U) \cap p (A)$ se $U \subseteq X$

Osserviamo che, poiché $V \subseteq p (A)$ e $A$ è saturo, allora $p^{- 1} (V) \subseteq A$ .
$⟹$ Sia $p^{- 1} (V)$ che $q^{- 1} (V)$ coincidono con il sottoinsieme di $A$ che $p$ manda in $V$ .

Per la seconda equazione, per ogni coppia di sottoinsiemi $U$ e $A$ di $X$ vale sempre l’inclusione:
$p (U \cap A) \subseteq p (U) \cap p (A)$
Dimostriamo l’inclusione inversa:
Supponiamo che $y := p (u) = p (a)$ per qualche $u \in U$ e $a \in A ⟹ p^{- 1} (y) ∋ u$ .
Poiché $A$ è saturo, esso contiene interamente la fibra di $a$ :
$p^{- 1} (p (a)) = p^{- 1} (y) = p^{- 1} (p (u)) \subseteq A$
Poiché $u$ appartiene a $p^{- 1} (p (y))$ , allora $u \in p^{- 1} (p (a)) ⟹ u \in A$ .
Essendo anche $u \in U$ , concludiamo che $u \in U \cap A$ .

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9. Spazi Connessi

9.1 Definizione e Proprietà

Spazio Connesso

Spazio Connesso

Sia $X$ spazio topologico e siano $A, B \subseteq X$ tali che $A \cup B = X$
Se non è possibile fare una separazione, allora $X$ è connesso, ossia se:

$A, B$ sono aperti in $X$ e $A, B \neq = \emptyset$

$A \cap B = \emptyset$

$A \cup B = X$

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Insiemi Clopen e Spazi Connessi

Osservazione

$X$ è connesso $⟺$ gli unici insiemi clopen (aperti e chiusi) sono $X$ e $\emptyset$ .
Questo perché se $U \neq = \emptyset$ è clopen, allora $U^{C} = X ∖ U$ è aperto.
Allora $X = (X ∖ U) \cup U$ e $\emptyset = (X ∖ U) \cap U$ e dunque $X$ non sarebbe connesso.

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Teorema sull'immagine di spazi connessi mediante funzioni continue

Teorema

L’immagine di spazi connessi mediante funzioni continue è connesso.

Dim

Siano $X$ uno spazio topologico connesso e $f : X \to Y$ continua.
Supponiamo che $f$ sia suriettiva (in alternativa si può considerare $f : X \to f (X)$ )
Se per assurdo $Y$ non fosse connesso, allora si avrebbe una separazione, ossia $\exists A, B \subseteq Y$ tali che $A \cup B = Y$ e $A \cap Y = \emptyset$ .
Risulta allora che:

$f^{- 1} (A) \cap f^{- 1} (B) = \emptyset$ ;

$f^{- 1} (A), f^{- 1} (B)$ sono aperti, in quanto $f$ è continua;

$f^{- 1} (A) \cup f^{- 1} (B) = X$ poiché $f$ è suriettiva;

$f^{- 1} (A), f^{- 1} (B) \neq = \emptyset$ poiché $A, B \neq = \emptyset$ e $f$ suriettiva.

Ho trovato dunque una separazione di $X$ , il che è assurdo in quanto $X$ è connesso.

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9.2 Sottospazi e Prodotti

Lemma sugli Spazi Connessi e Sottospazi

Lemma

Sia $X$ uno spazio topologico, se $C, D$ formano una separazione e $Y \subseteq X$ è un sottospazio topologico connesso, allora $Y \subseteq C$ oppure $Y \subseteq D$ .

Dim

Per ipotesi $C \cap D = \emptyset$ e $C \cup D = X$ .
Inoltre poiché $Y$ è connesso $(C \cap Y) \cup (D \cap Y) = Y$ e $(C \cap Y) \cap (D \cup Y) = \emptyset$ , inoltre $C \cap Y, D \cap Y$ sono aperti.
$Y$ è connesso per ipotesi, quindi se $C \cap Y$ e (contemporaneamente) $D \cap Y$ fossero non vuoti, allora si avrebbe una separazione di $Y$ , da cui l’assurdo.

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Teorema sull'Unione di Spazi Connessi

Teorema

L’unione di una collezione di sottospazi connessi di uno spazio topologico $X$ aventi un punto in comune è connessa.

Dimostrazione

Siano ${A_{α}}$ una collezione di sottospazi connessi e sia $a = α ⋂ A_{α}$ un punto il comune tra di essi.
Sia $Y = α ⋃ A_{α}$ . Supponiamo per assurdo che $Y$ non sia connesso, ossia che esistano $C, D$ aperti non vuoti di $Y$ tali che $C \cup D = Y$ e $C \cap D = \emptyset$ .
Allora, si avrebbe che $a \in C$ oppure $a \in D$ . Supponiamo senza ledere la generalità che $a \in C$ .
Poiché gli $A_{α}$ sono connessi, allora per il Lemma sugli Spazi Connessi e Sottospazi si ha che $A_{α} \subseteq C, \forall α$ . Ma allora si avrebbe che $Y = α ⋃ A_{α} \subseteq C$ , da cui l’assurdo, in quanto $D \neq = \emptyset$ per ipotesi. Dall’assurdo segue la tesi

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Prodotto di Spazi Connessi

Teorema

Il prodotto finito di spazi connessi è connesso

Dimostrazione per due spazi connessi

Considero $X, Y$ spazi connessi e il loro prodotto $X \times Y$ .
Sia $(a, b) \in X \times Y$
Osservo che $X \times {b} ≃ X$ (omeomorfo) e ${a} \times Y ≃ Y$ pertanto sono connessi.
Definisco $\forall x \in X : T_{x} := (X \times {b}) \cup ({a} \times Y)$
In virtù del Teorema sull’Unione di Spazi Connessi risulta che $T_{x}$ è connesso.
Pertanto, $X \times Y = x \in X ⋃ T_{x}$ è connesso.

Dimostrazione per $n$ spazi connessi

Abbiamo già dimostrato il caso $n = 2$
Supponiamo che la tesi valga per $n$ sottospazi e dimostriamolo per $n + 1$ .
$connesso per ipotesi X_{1} \times \dots \times X_{n} \times X_{n + 1}$
Considero $X_{1} \times \dots \times X_{n} = Y$ , allora $Y \times X$ è connesso.

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La Box Topology non è Connessa

Esercizio $R^{ω}$ con Box Topology

Dimostro che $(R^{ω}, τ_{box})$ non è connesso
Mi basta trovare due insiemi disgiunti non vuoti che separano $R^{ω}$ .
Considero:

$A$ l’insieme delle successioni limitate

$B$ l’insieme delle successioni non limitate
Risulta che i due insiemi sono disgiunti e aperti per la Box Topologia:
dato un punto $a = (a_{1}, a_{2}, \dots) \in R^{ω}$ è possibile considerare un intorno $U = (a_{1} - 1, a_{1} + 1) \times (a_{2} - 1, a_{2} - 1) \times \dots$ .
Se $a$ è limitato, allora $U \subseteq A$ , se $a$ non è limitato, allora $U \subseteq B$ .
Dunque ho trovato una separazione rispetto alla box topology dunque $R^{ω}$ non è connesso

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La Topologia Prodotto è Connessa

$R^{ω}$ con Topologia Prodotto

Dimostriamo che $(R^{ω}, τ_{prod})$ è connesso.
Consideriamo $\forall n \in N : R^{n} = {(x_{1}, \dots, x_{n}, 0, 0, \dots)}$
e la funzione $φ : R^{n} \to R^{n}$ che associa
$\forall (x_{1}, \dots, x_{n}, 0, 0, \dots) ⟼ (x_{1}, \dots, x_{n})$
Tale funzione è continua (in quanto lo sono le sue componenti in virtù del Teorema sulle funzioni continue e topologia prodotto)
Inoltre ogni $R^{n} ≃ R^{n}$ è connesso, in quanto $R^{n}$ è Prodotto di Spazi Connessi finito.
Inoltre tutti gli $R^{n}$ contengono il punto $(0, 0, \dots) \in R^{ω}$ , pertanto la loro unione $n \in N ⋃ R^{n} = R^{\infty}$ è connessa per il Teorema sull’Unione di Spazi Connessi è connessa.
(Ricordo che $R^{\infty}$ contiene solo successioni che ad un certo punto finiscono)
Sia $a = (a_{1}, a_{2}, \dots) \in R^{ω}$ e sia $U = i \prod U_{i}$ intorno di $a$ per la topologia prodotto.
Risulta che $U_{i} = R$ definitivamente da un certo $N$ in poi.
Considerato il punto $x = (a_{1}, \dots, a_{N}, 0, 0 \dots) \in R^{\infty}$ . Tale punto appartiene a $U$ in quanto $x_{i} \in U_{i}, \forall i$
Abbiamo dimostrato dunque che per ogni punto di $R^{ω}$ esiste un intorno $U$ che interseca $R^{\infty}$ , ossia tutti i punti di $R^{ω}$ sono punti di aderenza per $R^{\infty}$ e quindi $\overline{R}^{\infty} = R^{ω}$ dunque $R^{ω}$ è connesso rispetto alla topologia prodotto.

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9.3 Spazi Connessi per Archi

Connessione per Archi

Cammino o Arco

Dato $X$ spazio topologico, e due punti $x, y \in X$ un cammino o arco è una mappa continua $f : [a, b] \to X$ tale che $f (a) = x, f (b) = y$

Spazio Connesso per Archi

Uno spazio topologico $X$ è detto connesso per archi se per ogni coppia $x, y \in X$ esiste un cammino.

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Immagine degli Spazi Connessi per Archi mediante Funzione Continua

Proposizione

Sia $f : X \to Y$ una mappa continua e $X$ connesso per archi.
Allora $f (X) \subseteq Y$ è connesso per archi

Dimostrazione

Siano $x_{0}, x_{1} \in X$ . Poiché $X$ è connesso per archi, allora $\exists γ : [0, 1] \to X$ tale che $γ (0) = x_{0}$ e $γ (1) = x_{1}$ continua.
Considero $f \circ γ : [0, 1] \to Y$ . Tale funzione è continua perché composta da funzioni continue.
Dunque $f \circ γ$ è un cammino in $Y$ che connette $f (x_{0}) = f (γ (0))$ a $f (x_{1}) = f (γ (1))$ .
Pertanto $Y$ è connesso per cammini.

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Ogni Spazio Connesso per Archi è Connesso

Ogni Spazio Connesso per Archi è Connesso

Dim

Supponiamo che $X$ sia uno spazio topologico connesso per archi.
Supponiamo per assurdo che $X$ non sia connesso.
Allora esiste una separazione di $X$ , ossia $\exists A, B \subseteq X$ non vuoti tali che $A \cup B = X$ e $A \cap B = \emptyset$ .
Consideriamo $a \in A, b \in B$ . Poiché $X$ è connesso per archi,
esiste $γ : connesso [0, 1] \to X$ tale che $γ (0) = a$ e $γ (1) = b$ .
Poiché $γ$ è continua, vale che:

$0 \in U = γ^{- 1} (γ ([0, 1]) \cap A) \subseteq [0, 1]$ aperto;

$1 \in V = γ^{- 1} (γ ([0, 1]) \cap B) \subseteq [0, 1]$ aperto.

Abbiamo trovato una separazione di $[0, 1]$ , poiché $U, V$ aperti non vuoti tali che $U \cup V = [0, 1]$ e $U \cap V = \emptyset$ .
Ma questo è assurdo perché $[0, 1]$ è connesso.

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La Connessione per Archi è una Relazione di Equivalenza

Proposizione

La relazione di equivalenza $\sim$ tale che $x \sim y$ se $\exists$ un cammino tra di essi è una relazione di equivalenza.

Riflessiva

Sia $x \in X$ . La funzione $γ : [0, 1] \to X ∣ t ⟼ x$ è continua e $f (0) = f (1) = x$ .

Simmetrica

Se $x \sim y$ allora $\exists γ$ cammino da $x$ a $y$ . La funzione $γ^{'} : [0, 1] \to X$ tale che $t ⟼ γ^{'} (t) = γ (1 - t)$ è una cammino che connette $x$ a $y$

Transitiva

Supponiamo $x \sim y$ e $y \sim z$ , ossia esistono due cammini $γ$ e $γ^{'}$
Definisco la mappa $γ^{''} : [0, 2] \to X$ tale che:
$γ^{''} (t) = {γ (t) γ^{'} (t - 1) t \in [0, 1] t \in [1, 2]$
Tale mappa è ben definita perché $γ (1) = γ^{'} (0)$ ed è continua per il Lemma dell’Incollamento e $γ^{''} (0) = x, γ^{''} (2) = z$ pertanto $x \sim z$ .

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9.4 Componenti connesse

Componenti Connesse

Componenti Connesse

Sia $X$ spazio topologico e sia $\sim$ una relazione di equivalenza tale che:
$x \sim y ⟺ \exists$ un sottoinsieme connesso che contiene $x, y$ .
Le classi di equivalenza sono dette componenti connesse di $X$

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Teorema sulle Componenti Connesse

Teorema

Le componenti connesse di $X$ sono sottoinsiemi connessi di $X$ , disgiunti tra loro, la cui unione è $X$ e tali che ogni sottoinsieme connesso di $X$ ne interseca esattamente una di esse.

Dim

Il fatto che le componenti connesse siano disgiunte e che la loro unione è $X$ è dato dal fatto che formano una partizione di quest’ultimo.
Supponiamo per assurdo che l’ultima affermazione sia falsa, ossia che $\exists C \subseteq X$ connesso non vuoto tale che interseca due componenti connesse $C_{1}, C_{2}$ in punti $c_{1} \in C_{1}$ e $c_{2} \in C_{2}$ .
Poiché $C$ è connesso e contiene $x_{1}, x_{2}$ allora $x_{1} \sim x_{2}$ , pertanto $x_{1}, x_{2}$ fanno parte della stessa componente connessa, il che è assurdo.
Dimostriamo che ogni componente connessa è connessa.
Sia $x_{0} \in C$ . Allora $\forall x \in C : \exists A_{x} \subseteq X$ connesso che contiene $x_{0}, x ⟹ x \in A_{x}$ e $A_{x} \subseteq C$ (appena dimostrato).
Dunque $C = x \in C ⋃ A_{x}$ unione di connessi aventi un punto in comune.
Pertanto $C$ è connesso.

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Componenti Connesse per Archi

Definizione

Poiché la connessione per archi è una relazione di equivalenza, le relative classi di equivalenza sono componenti connesse e prendono il nome di componenti connesse per archi

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10. Spazi Compatti

10.1 Ricoprimenti e Definizione di Compatto

Ricoprimento

Ricoprimento

Sia $A = {A_{i}}_{i}$ una collezione di sottoinsiemi di uno spazio topologico $X$ .
Esso si dice ricoprimento se $i ⋃ A_{i} = X$
Si dice ricoprimento aperto se $A_{i}$ è aperto $\forall i$

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Compatto

Spazio Topologico Compatto

Uno spazio topologico si dice compatto se ogni ricoprimento aperto di $X$ contiene un sottoricoprimento finito che ricopre ancora $X$ .
In altre parole, se $A = {A_{i}}_{i}$ è un ricoprimento, esiste un ${A_{1}, \dots, A_{k}} \subset A$ tale che $X = j = 1 ⋃ k A_{j}$

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Esempi di Compatti e non Compatti

$R$ non è compatto

Consideriamo la famiglia di insiemi $A = {(n, n + 2), n \in Z}$ .
Tale famiglia è un ricoprimento di $R$ , ma non esiste una sottocollezione finita di $A$ che ricopre $R$ , dunque non è compatto

Esempio

L’insieme $X = {0} \cup {\frac{1}{n} n \in Z^{+}}$ è compatto.
Infatti, presa una collezione $A$ ricoprimento di $X$ , risulta che $\exists U \in A ∣ 0 \in U$ dove $U$ è aperto, quindi intorno di $0$ .
Essendo intorno di $0$ , conterrà infiniti elementi di $X$ , e un numero finito di elementi di $X$ rimarranno fuori, cioè non sono inclusi in $U$ . Dunque posso considerare la collezione finita di insiemi $U_{m} {\frac{1}{m} ∣ m < n}$ che ricopre i restanti punti di $X$ .
Ho trovato dunque una collezione ${U, U_{1}, \dots, U_{m}}$ finita che ricopre $X$ , pertanto quest’ultimo è compatto.

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10.2 Sottospazi di Spazi Compatti

Lemma sui Sottospazi Compatti

Proposizione

Sia $Y \subseteq X$ sottospazio, allora:
$Y$ è compatto $⟺$ $\forall$ ricoprimento di $Y$ mediante insiemi aperti di $X$ esiste un sottoricoprimento finito che ricopre $Y$ .

$⟹$

Supponiamo $Y$ compatto $⟹ A = {A_{i}}$ ricoprimento di $Y ⟹$
$⟹ A = {A_{i}^{'} \cap Y ∣ A_{i}^{'} aperto di X}$ .
Poiché $Y$ è compatto, esiste un sottoricoprimento ${A_{1}, \dots, A_{k}} = {A_{1}^{'} \cap Y, \dots, A_{k}^{'} \cap Y}$ finito di $Y$ e $A_{1}^{'}, \dots, A_{k}^{'} \subseteq X$ .

$⟸$

É ovvio per definizione

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Teorema Sui Sottospazi Chiusi Dei Compatti

Teorema

Ogni sottospazio chiuso di uno spazio topologico compatto è compatto

Dimostrazione

Sia $C \subseteq X$ uno sottospazio chiuso e $X$ compatto.
Sia $U$ un ricoprimento di $C$ , risulta che $U = {U_{i}} = {V_{i} \cap U}$ dove $V_{i}$ è un aperto di $X$
Dal momento che $X$ è compatto, risulta che esiste una collezione di $V_{i}$ finita di aperti di $X$ tali che:
$X = V_{1} \cup \dots \cup V_{k} \cup (X ∖ C)$ dove $(X ∖ C)$ è aperto in quanto $C$ è chiuso.
Ma allora $C \subseteq (V_{1} \cup \dots \cup V_{k}) \cap C = (V_{1} \cap C) \cup \dots \cup (V_{k} \cap C)$
Ho trovato una collezione finita di aperti di $C$ che lo ricoprono, quindi $C$ è compatto

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I Sottospazi Compatti di Spazi T2 sono Chiusi

Teorema

Ogni sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso.

Dimostrazione

Provo che $X ∖ Y$ è aperto.
Sia $x_{0} \in X ∖ Y$ . $\forall y \in Y$ $\exists U_{y, x_{0}} ∋ x_{0}, \exists V_{y} ∋ y$ intorni aperti e disgiunti, poiché $X$ è $T_{2}$ . Risulta che ${V_{y}}$ è un ricoprimento di $Y$ , che è compatto, quindi esiste una sottocollezione ${U_{y_{1}}, \dots, U_{y_{k}}}$ finita di aperti che ricoprono $Y$ .
Poniamo $U = U_{x_{0}, y_{1}} \cap \dots \cap U_{x_{0}, y_{n}}$ e $V = V_{y_{1}} \cup \dots \cup V_{y_{k}}$ .
(PS, per $U$ uso le intersezioni perché l’intorno che cerco non deve mai intersecare $Y$ , altrimenti non sarebbe un sottoinsieme di $X ∖ Y$ )
Risulta che $V$ è intorno di $y$ e $U$ è intorno di $x_{0}$ e $U \cap V = \emptyset$ .
Da questa uguaglianza concludo che $U \subseteq X ∖ Y$ .
Posso trovare dunque per ogni $x_{0} \in X ∖ Y$ un intorno di tale punto, da cui $X ∖ Y$ è aperto, perciò $Y$ è chiuso.

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10.3 Mappe e Spazi Compatti

Teorema sull'immagine di compatti mediante funzioni continue

Teorema

Sia $f : X \to Y$ una funzione continua e $X$ compatto.
Allora anche $f (X)$ è compatto.

Dimostrazione

Sia $A$ un ricoprimento aperto di $f (X)$ .
Considero $U = {f^{- 1} (V) ∣ V \in A}$
Tale collezione è un ricoprimento aperto di $X$ in quanto $f$ è continua.
Dal momento che $X$ è compatto, esiste una collezione finita ${f^{- 1} (A_{1}), \dots, f^{- 1} (A_{n})}$ che ricopre $X$ . Ma allora ${A_{1}, \dots, A_{n}}$ è ricoprimento finito di $f (X)$ , per cui è compatto.

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La Biiezione continua da compatto a Hausdorff è un omeomorfismo

Teorema

Sia $f : X \to Y$ una Mappa Continua biiettiva. Se $X$ è Compatto e $Y$ è di Hausdorff, allora $f^{- 1}$ è continua, cioè $X$ è omemorfo a $Y$

Dimostrazione

Per dimostrare che $f^{- 1} : Y \to X$ è continua, basta dimostrare che la controimmagine di ogni chiuso mediante $f^{- 1}$ è chiusa. Cioè che se $C \subseteq X$ è chiuso, allora $f (C)$ è chiuso.
Sia $C \subseteq X$ un chiuso di $X$ . Poiché $X$ è compatto, allora anche $C$ è compatto per questo teorema.
Sappiamo che $f$ è continua, dunque $f (C)$ è a sua volta compatto in quanto immagine di un compatto mediante funzione continua.
Dal momento che $Y$ è $T_{2}$ , per questo teorema risulta che $f (C)$ è chiuso in quanto compatto.
Quindi $f^{- 1}$ è continua

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10.4 Prodotto di Compatti

Lemma del Tubo

Lemma del Tubo

Siano $X, Y$ spazi topologici e $Y$ compatto.
Sia $x \in X$ e $ϑ \subseteq X \times Y$ un aperto che contiene ${x} \times Y$ .
Allora $\exists U$ intorno di $x_{0}$ tale che ${x} \times Y \subseteq U \times Y \subseteq ϑ$

Dim

Consideriamo $x_{0} \in X$ e $ϑ \supseteq {x_{0}} \times Y$
Poiché siamo nella topologia prodotto, allora $\forall y \in Y$ esiste un intorno aperto $M = U_{y} \times V_{y} \subseteq ϑ$ ( $ϑ$ è aperto in $τ_{prod}$ ) centrato in $(x_{0}, y)$
Osservo che ${V_{y}}$ è un ricoprimento di aperti di $Y$ , che è compatto, quindi posso trovare una collezione finita ${V_{y_{1}}, \dots, V_{y_{n}}}$ di aperti che ricopre $Y$ .
Definisco $U = i = 1 ⋂ n U_{y_{i}}$ intorno aperto di $x_{0}$ perché intersezione finita di aperti.
Si ha che l’insieme $U \times Y$ è un intorno aperto e $U \times Y \subseteq ϑ$

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La Proiezione Parallela a un Compatto è Chiusa

Proposizione

Siano $X, Y$ spazi topologici con $Y$ compatto.
Allora la proiezione $p_{X} : X \times Y \to X$ è un’applicazione chiusa

Dim

Sia $C \subset X \times Y$ un sottoinsieme chiuso, vogliamo dimostrare che $p_{X} (C)$ è chiuso.
Verifichiamo allora che $X ∖ p_{X} (C)$ è aperto.
Sia $x \in X ∖ p_{X} (C) ⟹ x \neq \in p_{C} (C), \forall (x^{'}, y^{'}) \in C : x^{'} \neq = x$
Allora $\forall y \in Y, (x, y) \neq \in C$ , ossia ${x} \times Y \subseteq (X \times Y) ∖ C$
Poiché $C$ è chuso, allora $(X \times Y) ∖ C$ è aperto, e per il Lemma del Tubo, dato che $Y$ è compatto e ${x} \times Y \subseteq (X \times Y) ∖ C$ allora $\exists U$ intorno aperto di $x$ tale che ${x} \times Y \subseteq U \times Y \subseteq (X \times Y) ∖ C$ .
Ho trovato un intorno di $x \in X ∖ p_{X} (C)$ , pertanto tale insieme è intorno di tutti i suoi punti, quindi è un aperto $⟹ p_{X} (C)$ è chiuso.

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Il prodotto finito di Compatti é Compatto

Teorema

Il prodotto finito di spazi topologici compatti é compatto

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Teorema del Grafico Chiuso per spazi compatti

Proposizione

Sia $f : X \to Y$ con $X$ spazio topologico e $Y$ compatto
Se il grafico di $f$ : $T_{f} := {(x, f (x)) \in X \times Y ∣ x \in X}$ è chiuso in $X \times Y$ allora $f$ è continua

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Teorema di Heine-Boriel

Teorema di Heine-Boriel

Sia $K \subseteq R^{n}$ , allora:
$K$ è compatto $⟺$ $K$ è chiuso e limitato

$⟹$

Sappiamo che $R^{n}$ è uno spazio di Hausdorff.
Poiché $K$ è compatto, sappiamo anche che è chiuso (!)
Resta da dimostrare che è limitato.
Siano $B_{m} := {x \in R^{n} ∣ ∥ x ∥ < m}$
Allora ${B_{m}}$ è un ricoprimento di $R^{n}$ e dunque di $K$ .
Ma poiché $K$ compatto, vuol dire che per un numero limitato di $m_{1}, \dots, m_{k} : K \subseteq ⋃ B_{m_{i}}$
Prendo $M = max {m_{1}, \dots, m_{k}}$ , risulta che $\forall x \in K : ∥ x ∥ < M$
Dunque $K$ è limitato.

$⟸$

Supponiamo che $K$ sia chiuso e limitato.
$K$ limitato $⟹ \exists L > 0 ∣ K \subseteq {(x_{1}, \dots, x_{n}) \in R^{n} ∣ ∣ x_{i} ∣ < L} = [- L, L]^{n}$
Osservo che l’insieme $[- L, L]^{n}$ è compatto perché prodotto finito di compatti.
E poiché $K$ è un sottospazio chiuso di un compatto, allora è compatto.

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10.5 Proprietà Di Intersezione Finita

Proprietà di Intersezione Finita

Proprietà di Intersezione Finita

Una collezione $C$ di sottoinsiemi di uno spazio topologico $X$ ha la proprietà di intersezione finita se:
$\forall$ sottofamiglia finita ${C_{1}, .., C_{n}} \subseteq C$ si ha che $i = 1 ⋂ n C_{n} \neq = \emptyset$ .

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Caratterizzazione della Compattezza tramite Proprietà di Intersezione Finita

Teorema

Sia $X$ uno spazio topologico, allora vale la seguente equivalenza:

$X$ è compatto

Ogni collezione $C$ di chiusi di $X$ che ha la Proprietà di Intersezione Finita verifica la proprietà: $C \in C ⋂ C \neq = \emptyset$

Dim

Provo l’equivalenza delle negazioni:
Sia $A$ una collezioni di aperti di $X$ e definiamo $C = {X ∖ A ∣ A \in A}$
Risulta che $C$ è una collezione di chiusi in $X ⟺ A$ è una collezione di aperti, inoltre:

$A$ è un ricoprimento di $X ⟺ c \in C ⋂ C = \emptyset$

Un sottoinsieme finito ${A_{1}, \dots, A_{n}} A$ ricopre $X ⟺ i = 1 ⋂ n (X ∖ A_{i}) = \emptyset$

Tali equivalenze sono conseguenza delle formule di De Morgan

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Uno Spazio di Hausdorff Compatto Privo di Punti Isolati non é Numerabile

Teorema

Sia $X$ uno spazio topologico di Hausdorff compatto. Se $X$ non ha punti isolati, allora non é numerabile.

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10.6 Compattezza per Punti di Accumulazione

Punti Isolati

Punto Isolato

Se $X$ è uno spazio topologico, $x$ è un suo punto isolato se ${x}$ è aperto.

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Compatto per Punti di Accumulazione

Spazio Compatto per Punti di Accumulazione

Sia $X$ uno spazio topologico. Esso si dice compatto per punti di accumulazione se ogni suo sottoinsieme infinito ha almeno un punto di accumulazione.

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I Compatti lo sono anche Per Punti di Accumulazione

Teorema

Se $X$ è compatto, allora lo è anche per punti di accumulazione
Non vale il viceversa

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Appunti di Matematica

Indice

Teoria di Topologia Generale

1. Topologia

1.1 Definizione di Topologia

Topologia

1.2 Esempi di Topologie

Topologia Discreta

Topologia Banale

Topologia Cofinita

Topologia Euclidea

Topologia del Limite Inferiore

Topologia con Seno

Confronto Tra Topologie

1.3 Aperti e Chiusi

Aperto

Chiuso

1.4 Basi di una Topologia

Base di una Topologia

Caratterizzazione delle Basi di una Topologia

I Numeri Primi sono Infiniti

Topologie confrontabili e basi

Esempio di Confronto tra Topologie

1.5 Intorni e Sistemi Fondamentali di Intorni

Intorni

Caratterizzazione degli aperti

Sistema fondamentale di intorni

1.6 Assiomi di Numerabilità

Spazio topologico Primo-numerabile

La topologia cofinita non è 1 numerabile

Spazio topologico Secondo-numerabile

la topologia del limite inferiore non è II-numerabile

2. Sottoinsiemi di uno Spazio Topologico

2.1 Interno di un Insieme e Punti Interni

Punto interno

Interno

2.2 Chiusura di un Insieme

Chiusura di un insieme

Punti di Aderenza

Teorema sui Punti di Aderenza

2.3 Punti di Accumulazione e Isolati

Punto di Accumulazione

Punto Isolato

Esempi di Chiusi in Topologie Diverse

2.4 Insiemi densi

Insieme Denso

Caratterizzazione degli insiemi densi

Topologie confrontabili e insiemi densi

2.5 Punti esterni e di frontiera

Esterno

Frontiera

2.6 Identità dell’Interno, Esterno e Frontiera

Proprietà Interno, Esterno e Frontiera

3. Costruzioni di Insiemi

3.1 Topologia Prodotto

Topologia Prodotto

Proprietà fondamentale delle mappe

3.2 Box Topologia

Prodotto Cartesiano della Famiglia Parametrizzata

Proiezioni Canoniche

Box Topologia

Confronto tra box topologia e topologia prodotto

4. Sottospazi

4.1 Definizione e Basi

Topologia di Sottospazio

Base di sottospazio

Chiusi e interni di spazi topologici (proprietà)

5. Mappe Continue e Omeomorfismi

5.1 Definizione e Proprietà

Mappa Continua

Continuità della funzione identità

Caratterizzazione delle Mappe Continue

Mappe Continue e Basi

Regole per la costruzione delle funzioni continue

Lemma dell'Incollamento

Teorema sulle funzioni continue e topologia prodotto

Box Topologia e Continuità

5.2 Omeomorfismi

Mappa Aperta

Mappa Chiusa