Esempi di Gruppi Quozienti

Esempio in $\mathbb{Z}$

Considero $G=\mathbb{Z}$ dotato di somma e $N=3\mathbb{Z}$ sottogruppo normale.
Considerati due elementi $x,y\in \mathbb{Z}$, essi sono congruenti se $x-y\in 3\mathbb{Z}$.
Dunque posso scrivere $x\equiv y(\text{mod }3\mathbb{Z})$ che equivale a dire $x\equiv y(\text{mod }3)$
Quindi ${}^{\mathbb{Z}}{/}_{3\mathbb{Z}}$ è l’insieme delle classi di equivalenza rispetto alla congruenza modulo $3\mathbb{Z}$

Esempio in $A_4$

Siano $G=A_4$ e $N=\{id,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}$ sottogruppo normale.
Osservo che $A_4=N\cup \{(1,2,3),(1,3,2),(1,2,4),(1,4,2),(1,3,4),(1,4,3),(2,3,4),(2,4,3)\}$
Prendo $(1,2,3)\notin N$
Calcolando $(1,2,3)N=\{(1,2,3),(1,3,4),(2,4,3),(1,4,2)\}$
Analogamente:
$(1,3,2)N=\{(1,3,2),(2,3,4),(1,2,4),(1,4,3)\}$.
Ho trovato le sue classi laterali, dunque ${}^{A_4}{/}_N=\{N,(1,2,3)N,(1,3,2)N\}$
Potrei identificare gli elementi di tale quoziente con gli elementi di ${\mathbb{Z}}_3:$
$\overline{0}\to N$
$\overline{1}\to (1,2,3)N$
$\overline{2}\to (1,3,2)N$
Ho appena definito un isomorfismo, il che sottolinea la natura ciclica di ${}^{A_4}{/}_N$.
Tale proprietà è data dal fatto che ${}^{A_4}{/}_N$ è un gruppo abeliano finito.

$\mathcal{U}({\mathbb{Z}}_{15})$.

$G=\mathcal{U}({\mathbb{Z}}_{15})=\{1,2,4,7,8,11,13,14\}$
$N=⟨4⟩=\{1,4\}⊲G$
$2N=\{2,8\}$
$7N=\{7,13\}$
$11N=\{11,14\}$
Dunque ${}^G{/}_N=\{N,2N,7N,11N\}$
Tale gruppo è di ordine 4, quindi può essere isomorfo solo a $Z_4$ oppure a ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$.
Osservo però che ogni elemento ha periodo $2$, quindi ${}^G{/}_N\cong {\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$