Sottogruppo Normale

Sottogruppo Normale

Sia $G$ un gruppo e $H<G$ un suo sottogruppo.
Esso si dice normale se $\forall g\in G:gH=Hg⟺gH{g}^{-1}=G$ e si denota $H⊲G$
Se un sottogruppo è normale, allora posso valutare un’espressione del tipo:
$x\equiv y\text{ mod }H$

Esempio

Considero $G=({\mathbb{Z}}_6,+)$ e il suo sottogruppo $H=⟨[2{]}_6⟩=\{[0{]}_6,[2{]}_6,[4{]}_6\}=\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}$
$\overline{0}+H=\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}=H$
$\overline{1}+H=\{\overline{1},\overline{3},\overline{5}\}$
$\overline{2}+H=H$
$\overline{3}+H=\overline{1}H$
$\overline{4}+H=H$
$\overline{5}+H=\overline{1}H=\overline{3}H$
Otteniamo 2 classi laterali, infatti $(G:H)=\frac{|G|}{|H|}=\frac{6}{3}=2$