Surgezione Canonica sul Gruppo Quoziente

Surgezione Canonica sul Gruppo Quoziente

Sia $G$ gruppo, $N⊲G$ sottogruppo normale.
Considero inoltre il gruppo quoziente ${}^G{/}_N$.
Posso definire la mappa:
\begin{align} \pi:G&\longrightarrow \,^G/_{N} \\ x&\longmapsto xN\end{align}
Tale mappa è compatibile con le operazioni di $G$ e ${}^G{/}_N$:
$\pi (x\cdot y)=xyN=xNyN=\pi (x)\cdot \pi (y)$
Si osserva inoltre che, posto $Ker(\pi )=\{x\in G|\pi (x)=1_{G/N}\}={\pi }^{-1}(1_{G/N})$, si ha che tale insieme corrisponde a $N$
Risulta inoltre che $Ker(\phi )$ è sottogruppo normale di $G$, infatti:
$x\in Ker(G),g\in G:\pi (gx{g}^{-1})=\pi (g)\underset{=1}{\underbrace{\pi (x)}}\pi (g^{-1})=\pi (g)\pi (g{)}^{-1}=1⟹Ker(G)⊲G$
Dal momento che $Ker(G)⊲G$, allora è possibile valutare ${}^G{/}_{Ker(\phi )}$.