Sottogruppo

Sottogruppo

Sia $G$ un gruppo, e $H\subseteq G$. Esso si dice sottogruppo se:

1. $\forall x,y\in H:x\cdot y\in H$, cioè $H\cdot H\subseteq H$
2. $1\in H$
3. $\forall x\in H:x^{-1}\in H$, cioè $H^{-1}\subseteq H$

Notazione: se $H$ è sottogruppo di $G$ si scrive $H<G$

Osservazione

Se $H\ne \varnothing$ allora le proprietà 1. e 3. implicano la 2.
Infatti $H\ne \varnothing ⟹\exists x\in H\stackrel{3.}{⟹}\exists x^{-1}\in H\stackrel{1.}{⟹}1=x\cdot x^{-1}\in H$