Congruenza Sinistra e Destra

Congruenza Sinistra e Destra

Sia $G$ un gruppo e $H<G$ un sottogruppo.
Definisco le relazioni binarie ${\rho }_d,{\rho }_s$ tali che $\forall x,y\in G$:
$x{\rho }_{s}y\stackrel{def}{⟺}{y}^{-1}\cdot x\in H$ ossia $x\cdot H=y\cdot H{y}^{-1}\cdot x\cdot H=H$
$x{\rho }_{d}y\stackrel{def}{⟺}x\cdot y^{-1}\in H$ ossia $H\cdot x=H\cdot yx\cdot y^{-1}\cdot H=H$
Tali relazioni prendono il nome di congruenza destra e sinistra definite da $H$ in $G$

Proposizione

Risulta che la congruenza è una relazione di equivalenza

Dim

• Riflessiva:
  $\forall x\in G:x{\rho }_{s}x⟺x^{-1}x=1\in H;$
• Simmetrica:
  $x{\rho }_{s}y⟹y^{-1}x\in H\stackrel{H^{-1}\subseteq H}{⟹}(y^{-1}x{)}^{-1}=x^{-1}y\in H⟹y{\rho }_{s}x$
• Transitiva:
  Supponiamo $x{\rho }_{s}y\wedge y{\rho }_{s}z$.
  $x{\rho }_{s}y⟹y^{-1}x=h\in H$
  $y{\rho }_{s}z⟹z^{-1}y=g\in H$
  $z^{-1}x=z^{-1}(y{y}^{-1})x=(z^{-1}y)(y^{-1}x)=gh\in H$

Risulta inoltre che
$y\in [x{]}_s⟺y{\rho }_{s}x⟺x^{-1}y=h\in H⟺y=xh⟺y\in xH$