Congruenza

Congruenza

Sia $N⊲G$ un sottogruppo normale. Allora risulta che la congruenza sinistra e destra coincidono (${\rho }_s={\rho }_d=\rho$) e prendono il nome di congruenza$\text{ mod }N$, cioè una relazione di equivalenza compatibile con l’operazione di $G$.
Dunque $x\rho y⟺x\equiv y\text{ mod }N$
Per dimostrare che $\rho$ è compatibile con l’operazione di $G$, dobbiamo verificare che
$x\rho x^{\prime }\wedge y\rho y^{\prime }⟹xy\rho x^{\prime }{y}^{\prime }$
ossia che $xN=x^{\prime }N\wedge yN=y^{\prime }N⟹xyN=x^{\prime }{y}^{\prime }N$
Ricordando che le classi laterali destre e sinistre coincidono per la normalità di $N$:
$\underline{xyN}=x(yN)=x(Ny)=x(N{y}^{\prime })=(xN)y^{\prime }=x^{\prime }N{y}^{\prime }=\underline{x^{\prime }{y}^{\prime }N}$.