Classi Laterali

Classi Laterali

Sia $(G,\cdot )$ un gruppo e $H\subseteq G$ un suo sottogruppo.
Considerato $g\in G$, l’insieme $gH=\{gh|h\in H\}$ è chiamata classe laterale (o coset) sinistra di $H$ definita da $g$.
La classe laterale destra è l’insieme $Hg=\{hg|h\in H\}$
Risulta che per lo stesso $g\in G$, la classe laterale destra e sinistra non sempre coincidono: $g\cdot H\ne H\cdot g$
Inoltre $g\in g\cdot H$ e $g\in H\cdot g$ e le classi laterali distinte sono disgiunte, mentre la loro unione è $G$ stesso.
Quindi le classi laterali sono delle classi di equivalenza

Se si usa la notazione additiva e il gruppo è abeliano, allora le classi laterali si indicano:
$x+Hx\in H,H<G$
e dalla proprietà commutativa risulta che $x+H=H+x$.