Teorema di Moltiplicazione degli indici

Teorema di Moltiplicazione degli indici (Teorema di Lagrange Generalizzato)

Sia $G$ un gruppo finito. Se $K<H<G$, allora:
$(G:K)=(G:H)(H:K)$
Nel caso finito si ha:
$\frac{|G|}{|K|}=\frac{|G|}{|H|}\cdot \frac{|H|}{|K|}$

Dim

Considero $G$ come $\bigcup g_{i}H$ unione disgiunta di classi laterali. Inoltre si può considerare $H=\bigcup h_{j}K$.
Pertanto risulta che: $G=\bigcup _{i,j}{g}_i{h}_{i}K$ unione disgiunta.
Quindi le classi laterali di $K$ in $G$ sono del tipo $g_i{h}_{i}K$