Sottogruppi Prodotto

Proposizione

Sia $G$ un gruppo e $H,N$ suoi sottogruppi.
L’insieme $H\cdot N=\{h\cdot n|h\in H,n\in N\}$ in generale è solo un sottoinsieme di $G$.
Se $N⊲G$ sottogruppo normale, allora $HN$ è un sottogruppo di $G$.

Dim

1. $1\in HN$
2. Osservo che $(hn)(h^{\prime }{n}^{\prime })=h(n{h}^{\prime })n^{\prime }=h{h}^{\prime }{n}^{\prime \prime }{n}^{\prime }$.
   Questo vale perché $nH=Hn⟹n{h}^{\prime }=h^{\prime }{n}^{\prime \prime }$ per qualche $n^{\prime \prime }\in N$
3. $(hn{)}^{-1}=n^{-1}{h}^{-1}=h^{-1}{n}^{\prime }\in HN$

Concludo che $HN<G$.
Inoltre se anche $H⊲G$:
$gHN{g}^{-1}=\underset{\subseteq H}{\underbrace{gH{g}^{-1}}}\cdot \underset{\subseteq N}{\underbrace{gN{g}^{-1}}}\subseteq H\cdot N$ dunque $HN⊲G$.

Osservazione

In realtà, basta la condizione $HN=\bigcup _{h\in H}hN=\bigcup _{h\in H}Nh=NH$ affinché $HN$ sia un gruppo. In maniera più sintetica si scrive:
$HN<G⟺HN=NH$
Non vale la doppia implicazione per quanto riguarda la normalità del sottogruppo prodotto;
HN\lhd G\begin{align}&\implies \\ &\bcancel\impliedby \end{align} HN=NH