Teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange

Sia $(G,\cdot )$ un gruppo finito e $H<G$ un sottogruppo.
Allora $|H|$ divide $|G|$.

Dimostrazione

Sia $G=g_{1}H\cup \cdots \cup g_{k}H$ la partizione di $G$ ottenuta mediante le classi laterali sinistre distinte, cioè:
$g_{i}H\cap g_{k}H=\varnothing \forall i\ne j$
Allora $|G|=|g_{1}H|+\cdots +|g_{k}H|$.
Dimostriamo che $|g_{1}H|=\cdots =|g_{k}H|=|H|$:
Costruiamo la funzione
\begin{align} \varphi:H\to g_{i}H \\ h\longmapsto g_{i}h \end{align}
Osservo che $\phi (h)=\phi (h^{\prime })⟹g_{i}h=g_i{h}^{\prime }⟹h=h^{\prime }$, dunque la mappa è iniettiva.
La funzione inoltre è suriettiva per definizione di classe laterale, dunque $\phi$ è biettiva.
Dunque $|H|=|g_{i}H|⟹|G|=k\cdot |H|$

Osservazione

Abbiamo dimostrato che tutti i sottogruppi di un gruppo $G$ finito hanno ordine che sia divisore di $|G|$.
Ma non è detto che ad ogni divisore di $|G|$ corrisponde un sottogruppo avente come ordine tale divisore.
Ad esempio $A_4$, il gruppo alterno di $S_4$ ha ordine
$|A_4|=\frac{|S_4|}{2}=\frac{4!}{2}=12$