Esempi di Sottogruppo Prodotto

Gruppo Diedrale

Possiamo considerare il gruppo diedrale ${\mathcal{D}}_n$ come il prodotto di
$H=⟨\tau ⟩=\{1,\tau \}$
$N=⟨\sigma ⟩=\{1,\sigma ,\dots ,{\sigma }^{n-1}\}⊲{\mathcal{D}}_n$
Osservo che ${\mathcal{D}}_n=HN=\{1,\sigma ,\dots ,{\sigma }^{n-1},\tau ,\tau \sigma ,\dots ,\tau {\sigma }^{n-1}\}$

$A_4$

$H=\{id,(1,2,3),(1,3,2)\}<A_4$
$N=\{id,(i,j)(k,l)\}⊲A_4$
Risulta che $A_4=HK$

Gruppo dei Quaternioni

Sia $\mathcal{Q}=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ il gruppo dei quaternioni.
Considero i gruppi:
$H=⟨i⟩=\{1,-1,i,-i\}⊲\mathcal{Q}$
$N=⟨j⟩=\{1,-1,j,-j\}⊲\mathcal{Q}$
Anche in questo caso risulta che $\mathcal{Q}=HN$

Gruppo di Klein

Sia $G=({\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2,+)$, e siano:
$H=\{(0,0),(0,1)\}⊲G$
$K=\{(0,0),(1,0)\}⊲G$
In notazione additiva, $G=H+K$