Gruppi Diedrali

Gruppi Diedrali

Il gruppo diedrale può essere considerato come il gruppo di riflessioni e rotazioni simmetriche di un poligono regolare di $n$ lati.
È definito come ${\mathcal{D}}_n=\{\sigma \tau |{\sigma }^n=1,{\tau }^2=1,\tau \sigma {\tau }^{-1}={\sigma }^{-}1\}=\{1,\sigma ,{\sigma }^2,\dots ,{\sigma }^{n-1},\tau ,\tau \sigma ,\tau {\sigma }^2,\dots ,\tau {\sigma }^{n-1}\}$
Risulta dunque che $|{\mathcal{D}}_n|=2n$
Possiamo rappresentare $\sigma$ e $\tau$ in forma matriciale:

\cos \left( \frac{2\pi}n{} \right) & -\sin\left( \frac{2\pi}n{} \right) \
\sin\left( \frac{2\pi}n{} \right) & \cos \left( \frac{2\pi}n{} \right)
\end{bmatrix}\qquad\tau=\begin{bmatrix}
1 & 0 \
0 & -1
\end{bmatrix}$$

Gruppi normali di ${\mathcal{D}}_n$

Consideriamo l’insieme $⟨\sigma ⟩=\{1,\sigma ,\dots ,{\sigma }^{n-1}\}$
Osserviamo che $({\mathcal{D}}_n:⟨\sigma ⟩)=2$, dunque per l’osservazione precedente tale sottogruppo è normale.
Tale sottogruppo non è l’unico normale, infatti tutti i sottogruppi $⟨{\sigma }^k⟩$ sono normali:
${\sigma }^i\tau {\sigma }^k\tau {\sigma }^{-i}={\sigma }^i{\sigma }^{-k}{\sigma }^{-i}={\sigma }^{-k}$
Invece, per $n>3$ osserviamo che il gruppo $⟨\tau ⟩=\{1,\tau \}$ non è normale, in quanto:
$\sigma \tau {\sigma }^{-1}=\sigma \tau (\tau \sigma {\tau }^{-1})={\sigma }^2{\tau }^{-1}={\sigma }^2\tau \notin ⟨\tau ⟩$