Proposizione su Gruppi Finiti

Proposizione

Sia $G$ un gruppo finito. Per ogni $x\in G$ si ha: $|x|$ divide $|G|$

Proposizione

I gruppi di ordine $p$ primo sono ciclici e isomorfi a ${\mathbb{Z}}_p$

Dim

Sia $G$ un gruppo tale che $|G|=p$ primo. Allora $\exists x\ne 1$ (poiché $p\ge 2$). Poiché $|x|=p$ divide $|G|$ allora $p=|G|=|{\mathbb{Z}}_p|$, cioè $G=⟨x⟩$

Proposizione

Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$. Allora $\forall x\in G:x^n=1$

Dim

Sia $x\in G$, allora $|x|=k$ è divisore di $|G|=n$, cioè $\exists g\in \mathbb{Z}|n=k\cdot g$.
Allora $x^n=x^{kg}=(x^k{)}^g=1^g=1$