Teorema Fondamentale di Isomorfismo

Osservazioni Preliminari

Se considero due gruppi $G,G^{\prime }$ e $\phi :G\to G^{\prime }$ omomorfismo qualsiasi, posso valutare la relazione di equivalenza $R_{\phi }$ tale che $\forall x,y\in G:x{R}_{\phi }y⟺\phi (x)=\phi (y)$.
Scopro che tale relazione è una congruenza, infatti:
$x{R}_{\phi }y⟹\phi (x)=\phi (y)⟹\phi (x)\cdot \phi (y{)}^{-1}=1⟹$
$⟹\phi (x{y}^{-1})=1⟹x{y}^{-1}\in Ker(\phi )⟹x\equiv y\text{ mod }Ker(\phi )$
In altre parole, se due elementi di $G$ sono mappati allo stesso elemento, fanno parte della stessa classe di equivalenza rispetto alla relazione $R_{\phi }$ e ciò significa che sono congruenti.
Da ciò si deduce che vi è una corrispondenza $1-1$ tra gli elementi dell’immagine di $\phi$ e ${}^G{/}_{Ker(\phi )}$.
Questo è il ragionamento intuitivo dietro al teorema fondamentale di isomorfismo, che viene riassunto con questo diagramma:

Teorema Fondamentale di Isomorfismo

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