Problema di Cauchy

Problema di Cauchy

Consideriamo
$f:I\to \mathbb{R}$ con $I$ intervallo di $\mathbb{R}$. Vogliamo trovare, se esiste, $F:J\to \mathbb{R}$ con $J\subseteq I$ intervallo tale che:

• $F$ derivabile in $J$
• $F^{\prime }(x)=f(x)\forall x\in J$

Sappiamo, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, che se $f$ continua in $I$ e $x_0\in I$ allora $F(x)={\int }_{x_0}^{x}f(x)dx$ è una primitiva di $f$.
Se $I$ è un intervallo, $\forall c\in \mathbb{R}$ abbiamo che ${\int }_{x_0}^{x}f(x)=F(x)+C$, dunque esistono infinite primitive tutte uguali a meno di una costante, inoltre si ha che se $H(x)={\int }_{x_0}^{x}f(x)dx+C$ allora $H(x_0)=C$.
Viceversa se fisso $y_0\in \mathbb{R}$ è unica la funzione $H_{y_0}(x)={\int }_{x_0}^{x}f(x)dx+y_0$
Per riassumere, data una $f:I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continua e $(x_0,y_0)\in I\times \mathbb{R}$, esiste ed è unica la funzione $H_{y_0}:I\to \mathbb{R}$ derivabile (qundi $C^1$) che soddisfa le seguenti condizioni:
$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(x)=f(x)\\ \\ y(x_0)=y_0\end{array}$
La ricerca di tale $y$ è chiamata problema di Cauchy.