1. Equazioni Differenziali Ordinarie

1.1 Problema di Cauchy

Problema di Cauchy

Problema di Cauchy

Consideriamo
$f:I\to \mathbb{R}$ con $I$ intervallo di $\mathbb{R}$. Vogliamo trovare, se esiste, $F:J\to \mathbb{R}$ con $J\subseteq I$ intervallo tale che:

• $F$ derivabile in $J$
• $F^{\prime }(x)=f(x)\forall x\in J$

Sappiamo, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, che se $f$ continua in $I$ e $x_0\in I$ allora $F(x)={\int }_{x_0}^{x}f(x)dx$ è una primitiva di $f$.
Se $I$ è un intervallo, $\forall c\in \mathbb{R}$ abbiamo che ${\int }_{x_0}^{x}f(x)=F(x)+C$, dunque esistono infinite primitive tutte uguali a meno di una costante, inoltre si ha che se $H(x)={\int }_{x_0}^{x}f(x)dx+C$ allora $H(x_0)=C$.
Viceversa se fisso $y_0\in \mathbb{R}$ è unica la funzione $H_{y_0}(x)={\int }_{x_0}^{x}f(x)dx+y_0$
Per riassumere, data una $f:I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continua e $(x_0,y_0)\in I\times \mathbb{R}$, esiste ed è unica la funzione $H_{y_0}:I\to \mathbb{R}$ derivabile (qundi $C^1$) che soddisfa le seguenti condizioni:
$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(x)=f(x)\\ \\ y(x_0)=y_0\end{array}$
La ricerca di tale $y$ è chiamata problema di Cauchy.

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Esempi problemi di Cauchy

Esempio $y^{\prime }=y$

Cerchiamo $y$ tale che $y^{\prime }=y$.
Osserviamo che $y(x)=e^x$ è derivabile su $\mathbb{R}$ e $y^{\prime }(x)=e^x$.
Più in generale $y(x)=K{e}^x\to y^{\prime }(x)=K{e}^x$
Fissato $(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2$, impongo $y(x_0)=K{e}^{x_0}=y_0$, da cui $K=\frac{y_0}{e^{x_0}}$
Ottenuto $K$, segue l’unicità: $y(x)=K=\frac{y_0}{e^{x_0}}{e}^x=y_0{e}^{x-x_0}$

Esempio $y^{\prime \prime }=\lambda y^{\prime }$

Poniamo $z=y^{\prime }$, il problema diventa: $z^{\prime }=\lambda z$, ottenendo la soluzione $z(x)=K{e}^{\lambda x}$ in quanto $z^{\prime }(x)=\lambda K{e}^{\lambda x}=\lambda z(x)$.
Per cui $y^{\prime }(x)=K{e}^{\lambda x}⟹y^{\prime \prime }(x)=\lambda K{e}^{\lambda x}$

1. Se $\lambda =0$ allora $y=Kx+c$ con $C\in \mathbb{R}$
2. Se $\lambda \ne 0$, ottengo $y=\int K{e}^{\lambda x}dx=\frac{K}{\lambda }{e}^{\lambda x}+C$

I risultati dipendono da troppi parametri, per cui impongo delle condizioni per trovare la soluzione:

1. $\lambda =0$:
   fisso $(x_0,y_0)\in {\mathbb{R}}^2$ per cui $y_0=K{x}_0+C⟹C=y_0-K{x}_0$
   da cui $y=Kx+y_0-K{x}_0=y_0+K(x-x_0)$
   non avendo ancora ottenuto l’unicità, impongo $y^{\prime }(x_0)=y_1⟹K=y_1$ da cui $y=y_1(x-x_0)+y_0$.
   Questa è la soluzione al problema di Cauchy: $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }=0\\ y(x_0)=y_0\\ y^{\prime }(x_0)=y_1\end{array}$
2. $\lambda \ne 0$:
   Fisso $(x_0,y_0,y_1)\in {\mathbb{R}}^3$ e impongo
   $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }=\lambda y\\ \\ y(x_0)=y_0\\ \\ y^{\prime }(x_0)=y_1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}y=\frac{K}{\lambda }{e}^{\lambda x}+C\\ \\ \frac{K}{\lambda }{e}^{\lambda x_0}+C=y_0\\ \\ K{e}^{\lambda x}=y_1\end{array}$
   Risolvendo il sistema per $C,K$ e $\lambda$, otteniamo $y=\frac{y_1}{\lambda }{e}^{\lambda (x-x_0)}+y_0-\frac{y_1}{\lambda }=\frac{y_1}{\lambda }(e^{\lambda (x-x_0)}-1)+y_0$

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1.2 Equazioni Differenziali

Equazione Differenziale

Equazione Differenziale

Ogni espressione del tipo $F(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)})=0$ è chiamata Equazione Differenziale di Ordine $n$, dove $F:\Omega \to \mathbb{R}\text{ e }\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^{n+2},x\in \mathbb{R}\text{ e }y=y(x)$è la funzione incognita.

Soluzione di un'Equazione Differenziale

$y=y(x)$ si dice soluzione dell’Equazione Differenziale $F(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)})$ se soddisfa le seguenti proprietà:

1. $\exists y^{(n)}$ in $J$;
2. $\forall x\in J:(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)})\in \Omega$
3. $\forall x\in J:F(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n)})=0$
   

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Forma Normale

Forma Normale

Un’equazione differenziale ordinaria di ordine $n$ si dice in forma normale se la derivata di ordine massimo (la derivata $n$-esima) può essere isolata ed esplicitata rispetto a tutte le altre variabili. In simboli, l’equazione assume la forma: $y^{(n)}=G(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})$ dove $G:\tilde{\Omega }\to \mathbb{R}$ e $\tilde{\Omega }\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$ è un insieme aperto.

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Esempi Di Equazioni Differenziali

Esempio $(3x-1)y^{\prime \prime }+y^{\prime }=0$

La funzione $y(x)=1$ è una soluzione particolare dell’equazione, infatti:

1. $y\in C^{\infty }(\mathbb{R})$
2. $\forall x\in \mathbb{R}:(x,5,0,0)\in \Omega ={\mathbb{R}}^4$
3. $(3x-1)\cdot 0+0=0\forall x\in \mathbb{R}$

Le tre proprietà sono verificate, tuttavia se porto l’equazione in forma normale $y^{\prime \prime }=\frac{y^{\prime }}{3x-1}$ si ha che $x\ne \frac{1}{3}$, pertanto la soluzione $y(x)=5$ non verifica la proprietà 2 in tutto ${\mathbb{R}}^4$, ma in $\Omega =\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{3}\right\}\times {\mathbb{R}}^3$

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ODE in forma normale e sistema di ODE

Proposizione

Ogni ODE in forma normale è equivalente a un sistema di ODE del primo ordine.
Consideriamo $y^{(n)}\stackrel{(\ast )}{=}G(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{n-1})$ ODE di ordine $n$ e $G:\Omega \to \mathbb{R}$,$\Omega \in {\mathbb{R}}^{n+1}$ aperto.
Allora $\bar{y}=\bar{y}(x)$ è soluzione di $(\ast )⟺$ posto $y_1=\overline{y},y_2={\overline{y}}^{\prime },\dots ,y_n={\overline{y}}^{(n-1)}$, $(y_1,\dots ,y_n):J\to \mathbb{R}$ è soluzione del sistema di ODE:

y_{1}‘=y_{2}\y_{2}‘=y_{3}\ \vdots \ y’{n-1}=y{n} \ y_{n}‘=G(x,y_{1},y_{2},\dots,y_{n})
\end{cases}(**)$$

Dim

Proviamo $⟹$:
Supponiamo $\overline{y}$ è soluzione di $(\ast )$, definisco
$y_1=\overline{y}$,
$y_2={\overline{y}}^{\prime }=y_1^{\prime }$,
$\dots$
$y_n={\overline{y}}^{(n-1)}=y_{n-1}^{\prime }$,
$y_n^{\prime }={\overline{y}}^{(n)}$
Allora $(y_1,\dots ,y_n)$ risolvono $(\ast \ast )$

Viceversa $⟸$:
Se $(y_1,\dots ,y_n)$ è soluzione del sistema, prendo $y_1=\overline{y}$, da cui $y_2=y_1^{\prime }={\overline{y}}^{\prime }$ e così via, per cui $y_n^{\prime }=G(x,y_1,y_2,\dots ,y_n)⟹{\overline{y}}^{(n)}=G(x,\overline{y},{\overline{y}}^{\prime },\dots ,{\overline{y}}^{(n-1)})$.

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Sistemi di ODE e semplificazione della teoria

Obs

Grazie all’equivalenza tra ODE in forma normale e sistemi di ODE, possiamo semplificare lo studio della teoria concentrandoci solo su sistemi di ODE di primo ordine in forma normale:
$y^{\prime }=F(x,y)$
dove $F:\Omega \to {\mathbb{R}}^n$, con $\Omega \subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ aperto, mentre $y:J\to {\mathbb{R}}^n$ è la funzione incognita.

In altre parole, la funzione incognita non sarà a valori reali, ma sarà una funzione vettoriale. Nel caso specifico in cui il sistema derivi dalla riduzione di una singola ODE di ordine $n$, ogni elemento del vettore corrisponde alla funzione originale e alle sue derivate fino all’ordine $n-1$.

La funzione $y:J\to {\mathbb{R}}^n$ è soluzione di $y^{\prime }=F(x,y)$ se:

1. $\forall x\in J:(x,y(x))\in \Omega$ e $y$ è derivabile in $J$;
2. $\forall x\in J:y^{\prime }(x)=F(x,y(x))$.

Poiché $y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$ e $F=(f_1,\dots ,f_n)$ con $f_i:\Omega \to \mathbb{R}$, vale l’equivalenza esplicita per le componenti:
$y^{\prime }=F(x,y)⟺\{\begin{array}{l}{y}_1^{\prime }=f_1(x,y_1,\dots ,y_n)\\ ⋮\\ y_n^{\prime }=f_n(x,y_1,\dots ,y_n)\end{array}$
con $y^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{y}_1^{\prime }\\ ⋮\\ y_n^{\prime }\end{array}\right)$.

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