ODE in forma normale e sistema di ODE

Proposizione

Ogni ODE in forma normale è equivalente a un sistema di ODE del primo ordine.
Consideriamo $y^{(n)}\stackrel{(\ast )}{=}G(x,y,y^{\prime },\dots ,y^{n-1})$ ODE di ordine $n$ e $G:\Omega \to \mathbb{R}$,$\Omega \in {\mathbb{R}}^{n+1}$ aperto.
Allora $\bar{y}=\bar{y}(x)$ è soluzione di $(\ast )⟺$ posto $y_1=\overline{y},y_2={\overline{y}}^{\prime },\dots ,y_n={\overline{y}}^{(n-1)}$, $(y_1,\dots ,y_n):J\to \mathbb{R}$ è soluzione del sistema di ODE:

y_{1}‘=y_{2}\y_{2}‘=y_{3}\ \vdots \ y’{n-1}=y{n} \ y_{n}‘=G(x,y_{1},y_{2},\dots,y_{n})
\end{cases}(**)$$

Dim

Proviamo $⟹$:
Supponiamo $\overline{y}$ è soluzione di $(\ast )$, definisco
$y_1=\overline{y}$,
$y_2={\overline{y}}^{\prime }=y_1^{\prime }$,
$\dots$
$y_n={\overline{y}}^{(n-1)}=y_{n-1}^{\prime }$,
$y_n^{\prime }={\overline{y}}^{(n)}$
Allora $(y_1,\dots ,y_n)$ risolvono $(\ast \ast )$

Viceversa $⟸$:
Se $(y_1,\dots ,y_n)$ è soluzione del sistema, prendo $y_1=\overline{y}$, da cui $y_2=y_1^{\prime }={\overline{y}}^{\prime }$ e così via, per cui $y_n^{\prime }=G(x,y_1,y_2,\dots ,y_n)⟹{\overline{y}}^{(n)}=G(x,\overline{y},{\overline{y}}^{\prime },\dots ,{\overline{y}}^{(n-1)})$.