Sistema di ODE

Sistema di ODE

Siano $F_1\dots F_k:\Omega \to \mathbb{R}$ e $\Omega \subseteq {\mathbb{R}}^m$ aperto. Il sistema:

y_{1}^{(n_{1})}&=F_{1}(x,y_{1},\dots,y_{k},y_{1}’,\dots,y’{k},\dots,y^{(n{1}-1)}{1},\dots,y^{(n{k}-1)}{k}) \
y{2}^{(n_{2})}&=F_{2}(x,y_{1},\dots,y_{k},y_{1}’,\dots,y’{k},\dots,y^{(n{1}-1)}{1},\dots,y^{(n{k}-1)}{k}) \
&\vdots \
y{k}^{(n_{k})}&=F_{k}(x,y_{1},\dots,y_{k},y_{1}’,\dots,y’{k},\dots,y^{(n{1}-1)}{1},\dots,y^{(n{k}-1)}_{k})
\end{cases}$$

è detto sistema di $k$ ODE di ordine diverso, dove $n_1,\dots ,n_k$ sono gli ordini delle ODE. Inoltre $m=1+\sum _{i=1}^k{n}_i$

Esempio di Sistema di 3 ODE

Consideriamo
$\{\begin{array}{l}{y}_1^{\prime }=y_1+y_2^{\prime }+x\\ y_2^{\prime \prime }=y_2^{\prime }-y_3\\ y_3^{\prime }=y_1-y_2+y_2^{\prime }\end{array}$
Risulta che $n_1=1,n_2=2,n_3=1$ per cui $n=1+1+2+1=5$, in altre parole $m$ è il numero di quante variabili (“input”) possono comparire a sinistra delle equazioni.