Sistemi di ODE e semplificazione della teoria

Obs

Grazie all’equivalenza tra ODE in forma normale e sistemi di ODE, possiamo semplificare lo studio della teoria concentrandoci solo su sistemi di ODE di primo ordine in forma normale:
$y^{\prime }=F(x,y)$
dove $F:\Omega \to {\mathbb{R}}^n$, con $\Omega \subseteq \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ aperto, mentre $y:J\to {\mathbb{R}}^n$ è la funzione incognita.

In altre parole, la funzione incognita non sarà a valori reali, ma sarà una funzione vettoriale. Nel caso specifico in cui il sistema derivi dalla riduzione di una singola ODE di ordine $n$, ogni elemento del vettore corrisponde alla funzione originale e alle sue derivate fino all’ordine $n-1$.

La funzione $y:J\to {\mathbb{R}}^n$ è soluzione di $y^{\prime }=F(x,y)$ se:

1. $\forall x\in J:(x,y(x))\in \Omega$ e $y$ è derivabile in $J$;
2. $\forall x\in J:y^{\prime }(x)=F(x,y(x))$.

Poiché $y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$ e $F=(f_1,\dots ,f_n)$ con $f_i:\Omega \to \mathbb{R}$, vale l’equivalenza esplicita per le componenti:
$y^{\prime }=F(x,y)⟺\{\begin{array}{l}{y}_1^{\prime }=f_1(x,y_1,\dots ,y_n)\\ ⋮\\ y_n^{\prime }=f_n(x,y_1,\dots ,y_n)\end{array}$
con $y^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{y}_1^{\prime }\\ ⋮\\ y_n^{\prime }\end{array}\right)$.