Caratterizzazione delle Basi di una Topologia

Caratterizzazione delle Basi di una Topologia

$\beta$ è una base per $\tau$ se verifica le seguenti proprietà:

1. $\forall x\in X:\exists B\in \beta \mid x\in B$
2. $\forall B_1,B_2\in \beta$ tali che $B_1\cap B_2\ne \varnothing ,\forall x\in B_1\cap B_2:\exists B\in \beta \mid x\in B\subseteq B_1\cap B_2$
   Viceversa se un’insieme $\beta \subseteq \mathcal{P}(X)$ verifica le proprietà 1. e 2. allora $\exists !\tau$ topologia su $X$ di cui $\beta$ è base.
   

Dim

$⟹$:
Se $\beta$ è base per $\tau$ allora

1. sia $x\in X\in \tau$. Allora per definizione di base $\exists B\in \beta \mid B\subseteq X⟹x\in B$
2. Siano $B_1,B_2\mid B_1\cap B_2\ne \varnothing .$ Poiché $B_1,B_2\in \tau ⟹B_1\cap B_2\in \tau$ dunque per definizione di base $\exists B\in \beta ,B\subseteq B_1\cap B_2\mid x\in B$

$⟸$:
Definisco $\tau =\left\{U\in \mathcal{P}\mid \exists {\beta }^{\prime }\subseteq \beta \text{ t.c. }U=\bigcup _{B_i\in {\beta }^{\prime }}{B}_i\right\}$
Dimostro che $\tau$ è topologia su $X$.

• $\varnothing =U={\bigcup }_{i\in I}{B}_i$ unione disgiunta, $X\in \tau$ poiché vale la proprietà 1.
• Sia $\{U_i{\}}_{i\in I}$ una famiglia di elementi di $\tau$. Allora $\forall U_i,\exists {\beta }_i\subseteq \beta \text{ t.c. }{U}_i=\bigcup _{B_j\in {\beta }_i}{B}_j$
  Pertanto ${\bigcup }_{i\in I}{U}_i={\bigcup }_{i\in I}\left({\bigcup }_{B_j\in {\beta }_i}{B}_j\right)$
• Siano $B_1,B_2\in \tau$ Se $B_1\cap B_2\ne \varnothing$, per la proprietà 3. si ha che $\forall x\in B_1\cap B_2:\exists B_i\in \beta \mid x\in B\subseteq B_1\cap B_2$. Pertanto $B_1\cap B_2={\bigcup }_{i\in I}{B}_i\in \tau$