Esempi di Chiusi in Topologie Diverse

In $\mathbb{R}$

Consideriamo $A_1=(0,+\infty ),A_2=\{1,2\},A_3=\mathbb{N},A_4=\mathbb{Q}$.
Calcolarne $\text{Int}(A_i),\overline{A_i}$ in $(\mathbb{R},\mathcal{E}),(\mathbb{R},\mathcal{P}(X)),(\mathbb{R},{\tau }_{cof}),(\mathbb{R},{\tau }_{\ell })$

1. In $(\mathbb{R},\mathcal{E})$
   $\text{Int}(A_1)=A_1$, $\overline{A_1}=[0,+\infty )$
   $\text{Int}(A_2)=\varnothing$, $\overline{A_2}=A_2$
   $\text{Int}(A_3)=\varnothing$, $\overline{A_3}=A_3$
   $\text{Int}(A_4)=\varnothing$: infatti $\forall q\in Q:\exists \epsilon >0\mid (q-\epsilon ,q+\epsilon )⊈\mathbb{Q}$.
2. In $(\mathbb{R},\mathcal{P}(\mathbb{R}))$
   $\forall i\in \{1,2,3,4\}:\text{Int}(A_i)=A_i,\overline{A_i}=A_i$
3. $(\mathbb{R},{\tau }_{cof})$
   Ricordiamo che ${\tau }_{cof}=\{\varnothing \}\cup \{A\subseteq \mathbb{R}\mid {\complement }_{X}A\text{ eˋ finito}\}$.
   Se $r$ fosse interno a $A_1=(0,+\infty )$ allora esisterebbe $W\in {\tau }_{cof}\mid x\in W\subseteq A_1$. Tale $W$ è del tipo $\mathbb{R}\setminus \{p_1\dots p_k\}⊈A_1⟹A_1$ non ha punti interni. Pertanto $\text{Int}(A_1)=\varnothing$
   I chiusi di ${\tau }_{cof}$ sono chiusi oppure sono uguali a $\mathbb{R}$. L’unico chiuso che contiene $A_1$ è $\mathbb{R}$, quindi $\overline{A_1}=\mathbb{R}$
   Considero $A_2$. Nella topologia cofinita, non esistono aperti contenuti in $A_2$, quindi $\text{Int}(A_2)=\varnothing$. Osservo inoltre che ${\complement }_{\mathbb{R}}{A}_2=\mathbb{R}\setminus \{1,2\}$ è aperto in ${\tau }_{cof}$, quindi $A_2$ è chiuso, di conseguenza $A_2=\overline{A_2}$.
   $A_3=\mathbb{N}$. $\forall n\in \mathbb{N},n\notin \text{Int}(\mathbb{N})$. Questo perché $\forall U\in {\tau }_{cof}\mid n\in U:U⊈\mathbb{N}⟹\text{Int}(\mathbb{N})=\varnothing$.
   Analogamente ad $A_2$, risulta che $\overline{A_3}=\mathbb{R}$.
   Osservo che $\text{Int}(\mathbb{Q})=\varnothing$ in virtù dello stesso ragionamento seguito per $A_3$.
   L’unico chiuso che contiene $\mathbb{Q}$ è $\mathbb{R}⟹\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$