I Numeri Primi sono Infiniti

I numeri primi sono infiniti

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Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano finiti $\{p_1\dots p_s\}$
Definisco $A=\bigcup _{p\text{ primo}}S(0,p)$ e $\tau =\{S(x,a)=\{x+ka\mid k\in \mathbb{Z}\}\}\subseteq \mathcal{P}(\mathbb{Z})$

Allora $\mathbb{Z}\setminus A=A^C=\{-1,1\}$ Questo perché solo $-1,1$ non sono primi (per definizione) e non sono multipli di numeri primi.
Osservo inoltre che $S(x,a{)}^C=X\setminus \underset{\text{aperto}}{\underbrace{S(x,a)}}=\bigcup _{i=1}^{a-1}S(x+i,a)$
Tale insieme è chiuso, in quanto complementare di aperto, e aperto poiché unione di aperti. In altre parole, tutti gli aperti sono chiusi.
Quindi $A=\bigcup _{p\text{ primo}}S(0,p)$ è chiuso per unione finita di chiusi e $A^C=\{-1,1\}$ è aperto. Ma questa è una contraddizione, in quanto gli aperti sono infiniti in $\tau$.