La Connessione per Archi è una Relazione di Equivalenza

Proposizione

La relazione di equivalenza $\sim$ tale che $x\sim y$ se $\exists$ un cammino tra di essi è una relazione di equivalenza.

Riflessiva

Sia $x\in X$. La funzione $\gamma :[0,1]\to X|t⟼x$ è continua e $f(0)=f(1)=x$.

Simmetrica

Se $x\sim y$ allora $\exists \gamma$ cammino da $x$ a $y$. La funzione ${\gamma }^{\prime }:[0,1]\to X$ tale che $t⟼{\gamma }^{\prime }(t)=\gamma (1-t)$ è una cammino che connette $x$ a $y$

Transitiva

Supponiamo $x\sim y$ e $y\sim z$, ossia esistono due cammini $\gamma$ e ${\gamma }^{\prime }$
Definisco la mappa ${\gamma }^{\prime \prime }:[0,2]\to X$ tale che:
${\gamma }^{\prime \prime }(t)=\{\begin{array}{ll}\gamma (t)& t\in [0,1]\\ {\gamma }^{\prime }(t-1)& t\in [1,2]\end{array}$
Tale mappa è ben definita perché $\gamma (1)={\gamma }^{\prime }(0)$ ed è continua per il Lemma dell’Incollamento e ${\gamma }^{\prime \prime }(0)=x,{\gamma }^{\prime \prime }(2)=z$ pertanto $x\sim z$.