Prodotto Cartesiano della Famiglia Parametrizzata

Famiglia Parametrizzata

Sia $I$ un insieme non vuoto e sia $X=\{X_{\alpha }|\alpha \in I\}=\{X_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ una famiglia parametrizzata da $I$.
Definisco il prodotto cartesiano di tale famiglia come:
${\prod }_{\alpha \in I}{X}_{\alpha }=\left\{f:I\to {\bigcup }_{\alpha \in I}{X}_{\alpha }|f(\alpha )\in X_{\alpha },\forall \alpha \in I\right\}$

Esempio ${\mathbb{R}}^2$

Considero ${\mathbb{R}}^2=\{(a,b)|a,b\in \mathbb{R}\}$
La coppia $(a,b)$ può essere vista come una funzione tale che $f(0)=a\in \mathbb{R},f(1)=b$. Quindi tutti gli elementi di ${\mathbb{R}}^2$ fanno parte dell’insieme ${\mathbb{R}}^{\{0,1\}}$. Viceversa una funzione $f:\{0,1\}\to \mathbb{R}\cup \mathbb{R}=\mathbb{R}$ tale che $f(0)\in \mathbb{R},f(1)\in \mathbb{R}$ si può scrivere come coppia $(a,b)$.
In altre parole ${\mathbb{R}}^2$ è isomorfo a ${\mathbb{R}}^{\{0,1\}}$

${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}:={\mathbb{R}}^{\omega }$

${\mathbb{R}}^{\omega }$ contiene tutte e sole le funzioni $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$, ossia le successioni di numeri reali.
(che possono essere viste come $n$-uple infinite di numeri reali).