Proposizione sull'intersezione tra Topologie

L'intersezione tra Topologie su $X$ è Topologia

Sia $\{{\tau }_i\}$ una famiglia di topologie su $X$.
Allora ${\bigcap }_{i\in I}{\tau }_i$ è topologia su $X$

Dim

1. $\mathbb{R},\varnothing \in \bigcap {\tau }_i$ (ovvio)
2. Sia $\{U_j{\}}_{j\in J}$ una famiglia di aperti di ${\tau }_i$ $\forall i\in I$.
   Allora $\bigcup _{j\in J}{U}_J$ è aperto in ${\tau }_i,\forall i\in I$. Quindi ${\bigcup }_j{U}_j\in {\bigcap }_i{\tau }_i$
3. Siano $A,B\in {\bigcap }_i{\tau }_i$. Allora $A\cap B\in {\tau }_i$ $\forall i$.
   Pertanto $A\cap B\in {\bigcap }_i{\tau }_i$