Base di sottospazio

Base di un sottospazio

Se $\beta$ è base per $(X,\tau )$, allora ${\beta }_Y=\{B\cap Y|B\in \beta \}$ è base per il sottospazio $(Y,{\tau }_Y)$

Dim

Sia $U\subseteq X$ e $y\in U\cap Y$
Allora per la definizione di base $\exists B\in \beta |y\in B\cap Y\subseteq U\cap Y$.
Dunque dato un aperto di ${\tau }_Y$, per ogni suo punto $x$ posso trovare un elemento della base ${\beta }_Y$ che contiene $x$ e che è contenuto in tale aperto.

Esempi di sottospazi

In $(\mathbb{R},\mathcal{E})$ considero $Y=[0,1]$
Allora la base per $(Y,{\mathcal{E}}_Y)$ è formata dagli elementi del tipo:
$(a,b)\cap Y=\{\begin{array}{l}(a,b)\text{se }a,b\in Y\\ [0,b)\text{se }b\in Y\\ (a,1]\text{se }a\in Y\\ Y,\varnothing \text{se }a,b\notin Y\end{array}$

Osservo che $[0,1]$ è aperto di $Y$ ma NON è aperto di $X$.