Topologia di Sottospazio

Sottospazio Topologico

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico. Sia $Y\subseteq X$
L’insieme ${\tau }_Y=\{A\cap Y|U\in \tau \}$ è una topologia su $Y$ detta topologia di sottospazio.
$(Y,{\tau }_Y)$ è detta sottospazio topologico di $X$

Dim

Dimostro che è una topologia:

1. $\varnothing =Y\cap \varnothing ,Y=Y\cap X⟹\varnothing ,Y\in {\tau }_Y$
2. ${\bigcup }_{i\in I}(U_i\cap Y)=\underset{\text{aperto di }\tau }{\underbrace{\left(\bigcup _{i\in I}{U}_i\right)}}\cap Y$
3. $(U_1\cap Y)\cap \cdots \cap (U_m\cap Y)=\underset{\text{aperto di }\tau }{\underbrace{(U_1\cap \cdots \cap U_m)}}\cap Y\in {\tau }_Y$
   Quindi ${\tau }_Y$ verifica la definizione di topologia