Lemma sui Sottospazi Compatti

Proposizione

Sia $Y\subseteq X$ sottospazio, allora:
$Y$ è compatto $⟺$ $\forall$ ricoprimento di $Y$ mediante insiemi aperti di $X$ esiste un sottoricoprimento finito che ricopre $Y$.

$⟹$

Supponiamo $Y$ compatto$⟹\mathcal{A}=\{A_i\}$ ricoprimento di $Y⟹$
$⟹\mathcal{A}=\{A_i^{\prime }\cap Y|A_i^{\prime }\text{ aperto di }X\}$.
Poiché $Y$ è compatto, esiste un sottoricoprimento $\{A_1,\dots ,A_k\}=\{A_1^{\prime }\cap Y,\dots ,A_k^{\prime }\cap Y\}$ finito di $Y$ e $A_1^{\prime },\dots ,A_k^{\prime }\subseteq X$.

$⟸$

É ovvio per definizione