Teorema Sui Sottospazi Chiusi Dei Compatti

Teorema

Ogni sottospazio chiuso di uno spazio topologico compatto è compatto

Dimostrazione

Sia $C\subseteq X$ uno sottospazio chiuso e $X$ compatto.
Sia $\mathcal{U}$ un ricoprimento di $C$, risulta che $\mathcal{U}=\{U_i\}=\{V_i\cap U\}$ dove $V_i$ è un aperto di $X$
Dal momento che $X$ è compatto, risulta che esiste una collezione di $V_i$ finita di aperti di $X$ tali che:
$X=V_1\cup \cdots \cup V_k\cup (X\setminus C)$ dove $(X\setminus C)$ è aperto in quanto $C$ è chiuso.
Ma allora $C\subseteq (V_1\cup \cdots \cup V_k)\cap C=(V_1\cap C)\cup \cdots \cup (V_k\cap C)$
Ho trovato una collezione finita di aperti di $C$ che lo ricoprono, quindi $C$ è compatto