Chiuso

Definizione

Un insieme si dice chiuso se il suo complementare è aperto.

Esempio

Nella Topologia Banale, $X$ è chiuso in quanto il suo complementare è $\varnothing$, che è aperto

Proprietà dei Chiusi

1. $\varnothing ,X$ sono chiusi
2. Sia $\{U_j{\}}_{j\in J}$ una famiglia di chiusi. Allora ${\bigcap }_{j\in J}{U}_j$ è chiuso.
3. Siano $A,B$ chiusi. Allora $A\cup B$ è chiuso.
   

Dim

1. $X^C=\varnothing ,(\varnothing {)}^C=X\in \tau$
2. $({\bigcap }_{j\in J}{U}_j{)}^C={\bigcup }_{j\in J}(U_j^C)\in \tau$ da cui ${\bigcap }_{j\in J}{U}_j$ è chiuso.
3. $(A\cup B{)}^C=A^C\cap B^C\in \tau$ pertanto $A\cup B$ è chiuso.