Caratterizzazione degli Spazi di Hausdorff

Caratterizzazione degli Spazi di Hausdorff

Sia $X$ spazio topologico. Allora vale la seguente equivalenza:

1. $X$ è $T_2$
2. $\Delta =\{(x,x)\in X\times X\}$ è chiuso in $X\times X$

$1.⟹2.$

Suppongo che $X$ sia di Hausdorff, dimostro che $\Delta$ è chiuso, cioè che ${\Delta }^C={\complement }_{X\times X}\Delta$ è aperto.
Sia $(p,q)\in {\Delta }^C⟹p\ne q$. Poiché $X$ è $T_2$, allora $\exists U_p,U_q\subseteq X$ intorni aperti di $p,q$ tali che $U_p\cap U_q=\varnothing$.
Osservo che $U_p\times U_q\in {\tau }_{\text{prod}}$ in quanto prodotto cartesiano di due aperti.
Risulta che $\forall (x,y)\in U_p\times U_q:x\ne y$, dunque $(U_p\times U_q)\cap \Delta =\varnothing ⟹U_p\times U_q\subseteq {\Delta }^C$
Per l’arbitrarietà di $p$ e $q$, risulta che ${\Delta }^C$ è aperto, dunque $\Delta$ è chiuso.

$2.⟹1.$

Supponiamo viceversa che $\Delta$ sia chiuso, ossia che ${\Delta }^C$ è aperto.
Siano $p,q\in X|p\ne q⟹(p,q)\in {\Delta }^C$.
Allora $\exists A\subseteq {\Delta }^C$ aperto tale che $(p,q)\in A$, ossia che $\exists M,N$ aperti per $X$ che contengono rispettivamente $p,q.$
Quindi $M$ è intorno di $p$ e $N$ è intorno di $q$ e risulta che $M\cap N=\varnothing$, poiché $M\times N\subseteq {\Delta }^C$.
Ho trovato due intorni aperti disgiunti di $p$ e $q$, dunque $X$ è di Hausdorff