Teorema
Siano spazi topologici e .
Allora vale la seguente equivalenza:
a. è continua globalmente
b. è continua in
c. chiuso di è chiuso in
d.
Dim
a. b.
Sia . allora intorno di si ha che è aperto.
Inoltre poiché . Quindi ho trovato un intorno di , da cui la tesi.b. a.
Per ipotesi intorno aperto di esiste intorno di tale che .
Sia : dimostro che è intorno di ogni suo punto.
Sia . allora intorno aperto di tale che . Ciò significa che è intorno di per definizione. Per l’arbitrarietà di , si ha che è aperto, in virtù della Caratterizzazione degli aperti.
a. c.
Si dimostra che
a. d.
Suppongo che sia continua. Sia e sia , cioè . Per provare che applico il Teorema sui Punti di Aderenza e dimostro che intorno di , .
Poiché è continua, allora è aperto e contiene , quindi è intorno di . Poiché è un punto di aderenza per , tutti i suoi intorni hanno intersezioni non vuote con .
Quindi .
d. a.
Supponiamo viceversa che
Devo dimostrare che chiuso, è chiuso.
Dunque . L’ultima uguaglianza risulta dal fatto che la chiusura di un insieme chiuso è l’insieme stesso.
Pertanto per le proprietà dei chiusi.
Quindi è chiuso da cui la tesi.