Mappa Continua

Mappa continua

Siano $(X,\tau ),(Y,{\tau }^{\prime })$ spazi topologici e sia $f:A\to B$ una mappa.
Essa si dice continua se $\forall V\in {\tau }^{\prime }:f^{-1}(V)\in \tau$

Esempio

Considero $f:(\mathbb{R},\mathcal{P}(X))\to (\mathbb{R},\mathcal{E})$ tale che $f(x)=x$
Prendo un aperto $V\in \mathcal{E}:f^{-1}(V)=V\subseteq \mathcal{P}(X)$, quindi $f$ è continua.
Se scambio insieme di partenza e arrivo, invece la funzione non è più continua: infatti se considero $\{0\}\in \mathcal{P}(X)$ aperto nella topologia discreta, $f^{-1}(\{0\})=\{0\}\notin \mathcal{E}$.

Mappa continua in un Punto

Siano $(X,\tau ),(Y,{\tau }^{\prime })$ spazi topologici e sia $f:A\to B$ una mappa.
Essa si dice continua in $x_0\in X$ se $\forall V$ intorno aperto di $f(x_0)$ esiste $U$ intorno aperto di $x_0$ tale che $f(U)\subseteq V$