Immagine degli Spazi Connessi per Archi mediante Funzione Continua

Proposizione

Sia $f:X\to Y$ una mappa continua e $X$ connesso per archi.
Allora $f(X)\subseteq Y$ è connesso per archi

Dimostrazione

Siano $x_0,x_1\in X$. Poiché $X$ è connesso per archi, allora $\exists \gamma :[0,1]\to X$ tale che $\gamma (0)=x_0$ e $\gamma (1)=x_1$ continua.
Considero $f\circ \gamma :[0,1]\to Y$. Tale funzione è continua perché composta da funzioni continue.
Dunque $f\circ \gamma$ è un cammino in $Y$ che connette $f(x_0)=f(\gamma (0))$ a $f(x_1)=f(\gamma (1))$.
Pertanto $Y$ è connesso per cammini.