Teorema Sulle Successioni Convergenti e Funzioni Continue

Teorema

Sia $f:X\to Y$ e $X$ è spazio topologico una mappa continua, allora $\forall x_n\to n$ successione convergente, allora $f(x_n)\to f(x)$.
Il viceversa vale se $X$ è metrizzabile.

Dim

Suppongo che $f$ sia continua e sia $x_n\to x$.
Sia $V$ tale che $f(x)\in V$. Allora $f^{-1}(V)$ è intorno di $x$
Pertanto $\exists N\in \mathbb{N}$ tale che $x_n\in f^{-1}(V)$, e quindi $\forall n\ge N$ risulta che $x_n\in f^{-1}(V)⟹f(x_n)\in V$
(bisogna ricordarsi che $x_N\to x⟺\forall V$ intorno di $x:\exists N\in \mathbb{N}|n\ge N:x_n\in V$).
Viceversa supponiamo $\forall x_n\to n$ successione convergente, allora $f(x_n)\to f(x)$ e $X$ è metrizzabile.
Dobbiamo provare che se $A\subseteq X$ allora $f(\overline{A})\subseteq \overline{f(A)}$
per il Lemma della Successione si ha che se $x\in \overline{A}$ allora $\exists x_n\to x$. Ma per ipotesi $f(x_n)\to f(x)\in \overline{A}$. Pertanto $f(x)\in \overline{f(A)})$
Quindi per la Caratterizzazione delle Mappe Continue si ha che $f$ è continua.