Lemma della Successione

Lemma della Successione

Sia $X$ uno spazio metrico e sia $A\subseteq X$.
Supponiamo che esiste una successione $x_n$ in $A$ convergente a $x$. Allora $x\in \overline{A}$.
Il viceversa vale se $X$ è metrizzabile

Dim

Se $x_n\to x$ allora ogni intorno di $x$ ha almeno un punto di $A$, quindi $x\in \overline{A}$ in base alla Teorema sui Punti di Aderenza.
Viceversa supponiamo che $X$ sia metrizzabile.
Sia $d$ la distanza che induce tale topologia e sia $x\in \overline{A}$
Considero $\forall n\in {\mathbb{Z}}_{+}$ l’intorno $B_d\left(x,\frac{1}{n}\right)$. Scelgo $x_n\in A\cap B_d\left(x,\frac{1}{n}\right)$ (posso perche $x$ è di aderenza). Ho trovato $x_n\to x$.