Teorema sui Punti di Aderenza

Teorema

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico e sia $A\subseteq X$. Allora valgono:

1. $x$ è punto di aderenza per $A⟺x\in \overline{A}$
2. Se $\beta$ è base per $\tau$ allora $x$ è p. di aderenza per $A⟺\forall B\in \beta \mid x\in B:B\cap A\ne \varnothing$.

Dim

1. Supponiamo che $x$ non è di aderenza per $A$. Allora $\exists W\in \tau \mid x\in W\wedge W\cap A=\varnothing$.
   Allora $W^C$ è chiuso e contiene $A$, pertanto $W^C\supseteq \overline{A}$ per la 3. proprietà dei chiusi. Dal momento che $x\notin W^C⟹x\notin \overline{A}$.
   Viceversa se $x\notin \overline{A}$, allora $\exists C$ chiuso che contiene $A\mid x\notin C$ (posso prendere anche $C=\overline{A}$). Allora $U:=X\setminus C$ è aperto e contiene $x$, ma $U\cap A=\varnothing$. Dunque $x$ non è di aderenza per $A$.

2. Se $x$ è p. di aderenza per $A$ allora $\forall U$ intorno di $x\mid U:A\cap U\ne \varnothing$. Ciò vale anche per gli elementi della base che contengono $x$.
   Viceversa supponiamo $\forall B\in \beta \mid x\in B:B\cap A\ne \varnothing$. Se $U$ è intorno di $x$, allora $\exists W\in \tau \mid x\in W\subseteq U$. Per la definizione di base $\exists \{B_i\}\subseteq \beta \mid W={\bigcup }_{i\in I}{B}_i$. Quindi $\exists i\in I\mid x\in B_i\subseteq W\subseteq A$ e $B_i\cap A\ne \varnothing ⟹U\cap A\ne \varnothing$.