Chiusura di un insieme

Chiusura di un insieme

Siano $(X,\tau )$ uno spazio topologico e $A\in \tau$.
Si chiama chiusura di un’insieme $\overline{A}=\bigcap \{C\mid A\supseteq C\text{ eˋ chiuso}\}$
Ossia è l’intersezione di tutti i chiusi che contengono $A$.

Proprietà della chiusura

1. $\overline{A}$ è chiuso (per la proprietà 2 dei chiusi)
2. $A\subseteq \overline{A}$
3. $\overline{A}$ è il più piccolo chiuso che contiene $A$, ossia $\forall C$ chiuso tale che $A\subseteq C:\overline{A}\subseteq C$
4. $\overline{A}=A⟺A$ è chiuso
   

Dim

1. Ovvio
2. Ovvio perché intersezione di insiemi contenenti $A$
3. Se $C$ chiuso e $A\subseteq C$ allora $\overline{A}\subseteq C$
4. Se $\overline{A}=A⟹A$ chiuso per la proprietà 1; se $A$ chiuso allora per la 3 $\overline{A}\subseteq A⟹\overline{A}=A$.
   

Esempi di chiusure in $(\mathbb{R},\mathcal{E})$

1. Se $A=(0,+\infty )$ allora:

\bigcap_{\begin{array} \
a \leq 0 \
b>0
\end{array}} \left[ a,b \right] =[0,+\infty[$$

2. Se $A=2,3$ allora $\overline{A}=A$ perché $A$ è chiuso.
3. Se $A=\mathbb{N}$ allora $\overline{A}=\mathbb{N}$ poiché $\mathbb{R}\setminus \mathbb{N}=\left(-\infty ,0\right)\bigcup _{n\in \mathbb{N}}(n,n+1)$