Chiusi e interni di spazi topologici (proprietà)

Proprietà

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico e $Y\subseteq X$

1. Se $A\subseteq Y⟹{\overline{A}}^Y={\overline{A}}^X\cap Y$
2. $In{t}_Y(A)=In{t}_X(A\cup (X\setminus Y))\cap Y$

Dim

3. Verifico la doppia inclusione (utilizzo il Teorema sui Punti di Aderenza 1.)

• ${\overline{A}}^Y\subseteq {\overline{A}}^X\cap Y$
  Sia $p\in {\overline{A}}^Y⟹p\in Y$
  $\forall U\in {\tau }_Y$ (ossia $\forall \tilde{U}\in \tau |U=\tilde{U}\cap Y$) intorno di $p$ risulta $U\cap {\overline{A}}^Y\ne \varnothing$ (perché $p$ è punto interno ad $A$).
  Sia $W\in \tau$ tale che $p\in W$.
  Allora $W\cap A=W\cap A\cap Y=A\cap \underset{\in {\tau }_Y}{\underbrace{(W\cap Y)}}\ne \varnothing ⟹W\cap A\ne \varnothing$
  Ho dimostrato che $p\in {\overline{A}}^X\cap Y⟹{\overline{A}}^Y\subseteq {\overline{A}}^X\cap Y$

• ${\overline{A}}^X\cap Y\subseteq {\overline{A}}^Y$
  Sia $p\in {\overline{A}}^X\cap Y$ e sia $U\in {\tau }_Y|p\in U$. Allora $\exists \tilde{U}\in \tau |U=\tilde{U}\cap Y$.
  Poiché $p$ interno ad $A$ (rispetto $X$), si ha che $U\cap A=\tilde{U}\cap Y\cap A\ne \varnothing$
  Quindi $p\in {\overline{A}}^Y$ perché verifica la proprietà di punto interno.

4. \displaystyle Int_{Y}(A)=\bigcup_{\substack{U\in \tau_{Y} \\ U\subseteq A}}U$$\displaystyle=\!\!\!\!\!\bigcup_{\substack{V\in \tau \\ V\cap Y\subseteq A}}\!\!\!\!(V\cap Y).
   Osservo che $V\cap Y\subseteq A⟺V\subseteq A\cup (X\setminus Y)$ (figura sotto)
   \displaystyle Y\cap \!\!\!\!\bigcup_{\substack{V\in \tau \\ V\cap Y\subseteq A}}V=$$\displaystyle Y\cap\!\!\!\!\!\!\!\! \bigcup_{\substack{V\in \tau \\ V\subseteq A\cup (X\setminus Y)}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!V=Int_{X}(A\cup(X\setminus Y))