Interno

Interno di un insieme

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico e $A\subseteq X$. Si definisce interno di $A$ l’insieme:
$\text{Int}(A)=\bigcup \{W\mid W\in \tau ,W\subseteq A\}$
Ossia è l’unione di tutti gli aperti contenuti in $A$

Proprietà dell'interno

1. $\text{Int}(A)\in \tau$;
2. $\text{Int}(A)\subseteq A$;
3. $A=\text{Int}(A)⟺A\in \tau$;
4. $\forall U\in \tau \mid U\subseteq A:U\subseteq \text{Int}(A)$, cioè $\text{Int}(A)$ è il più grande aperto contenuto in $A$;
5. $A\subseteq B⟹\text{Int}(A)\subseteq \text{Int}(B)$
   

Dim

1. Ovvio poiché unione di interni
2. Ovvio perché unione di sottoinsiemi di $A$
3. Se $A$ è aperto, allora $A\subseteq \text{Int}(A)⟹A=\text{Int}(A)$.
   Se $A=\text{Int}(A)$ allora è unione di aperti $⟹A\in \tau$
4. Vero perché $\text{Int}(A)$ è l’unione di tutti gli aperti contenuti in $A$
   

Esempi di interni in $(\mathbb{R},\mathcal{E})$

1. Se $A=\{1,2\}$ allora $\text{Int}(A)=\varnothing$
2. Se $A=\left[1,2\right]$ allora $\text{Int}(A)=\left(1,2\right)$

Proposizione

Sia $A\subseteq X$. Allora $\text{Int}(A)=\{x\in X\mid x\text{ eˋ interno ad }A\}$

Dim

$x\in \text{Int}(A)⟺\exists U\in \tau \mid x\in U\subseteq A⟺x$ è interno ad $A$.