Regole per la costruzione delle funzioni continue

Regole per la costruzione delle funzioni continue

Siano $(X,\tau ),(Y,{\tau }^{\prime })$ due spazi topologici:

1. Se $f:X\to Y$ è funzione continua, allora $f$ è continua.
2. Se $B\subseteq X$, allora $j:(B,{\tau }_B)\to X$ tale che $\forall b\in B:j(b)=b$ è continua
3. Sia $(Z,{\tau }^{\prime \prime })$ è spazio topologico, e $f:X\to Y,g:Y\to Z$ sono funzioni continue, allora $g\circ f$ è continua

Punto 1

Sia $y_0\in Y$ tale che $\forall x\in X:f(x)=y_0$
Sia $A\subseteq Y:f^{-1}(A)=\{\begin{array}{ll}\varnothing & \text{se }{y}_0\notin A\\ A& \text{se }{y}_0\in A\end{array}$
In entrambi i casi, la controimmagine di $A$ è un aperto di $X$, quindi $f$ è continua.