Ogni Spazio Connesso per Archi è Connesso

Ogni Spazio Connesso per Archi è Connesso

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Supponiamo che $X$ sia uno spazio topologico connesso per archi.
Supponiamo per assurdo che $X$ non sia connesso.
Allora esiste una separazione di $X$, ossia $\exists A,B\subseteq X$ non vuoti tali che $A\cup B=X$ e $A\cap B=\varnothing$.
Consideriamo $a\in A,b\in B$. Poiché $X$ è connesso per archi,
esiste $\gamma :\underset{\text{connesso}}{\underbrace{[0,1]}}\to X$ tale che $\gamma (0)=a$ e $\gamma (1)=b$.
Poiché $\gamma$ è continua, vale che:

• $0\in U={\gamma }^{-1}\left(\gamma ([0,1])\cap A\right)\subseteq [0,1]$ aperto;
• $1\in V={\gamma }^{-1}\left(\gamma ([0,1])\cap B\right)\subseteq [0,1]$ aperto.

Abbiamo trovato una separazione di $[0,1]$, poiché $U,V$ aperti non vuoti tali che $U\cup V=[0,1]$ e $U\cap V=\varnothing$.
Ma questo è assurdo perché $[0,1]$ è connesso.