Teorema sulle funzioni continue e topologia prodotto

Teorema

Sia $A$ uno spazio topologico e $X=\prod X_{\alpha }$ munito di topologia prodotto. Allora $f:A\to X$ tale che $a⟼(f_1(a),\dots ,f_{\alpha }(a),\dots {)}_{\alpha \in I}$ è continua se e solo se $f_{\alpha }:A\to X_{\alpha }$ è continua $\forall \alpha \in I$

Dim

Osservo che $f_{\alpha }={\pi }_{\alpha }\circ f$ dove ${\pi }_{\alpha }$ è la proiezione rispetto $X_{\alpha }$, che è continua.
Se $f$ è continua, allora $f_{\alpha }$ è continua
Se tutte le $f_{\alpha }$ sono continue, allora $\forall \alpha \in I,\forall U_{\alpha }\in X_{\alpha }$:
$f_{\alpha }^{-1}(U_{\alpha })=({\pi }_{\alpha }\circ f{)}^{-1}(U_{\alpha })=f^{-1}\circ {\pi }_{\alpha }^{-1}(U_{\alpha })=f^{-1}(\underset{\text{aperto}}{\underbrace{{\pi }_{\alpha }^{-1}(U_{\alpha })}})$
Poiché ${\pi }_{\alpha }$ e $f$ sono continue, allora $f_{\alpha }^{-1}(U_{\alpha })$ è aperto quindi $f_{\alpha }$ è continua.