Mappa Quoziente

Mappa Quoziente

$p:(X,\tau )\to (Y,{\tau }^{\prime })$ è una mappa quoziente se $p$ è suriettiva e se
$\forall U\in Y:U\in {\tau }^{\prime }⟺p^{-1}(U)\in \tau$

Osservazione

Se $p:(X,\tau )\to (Y,{\tau }^{\prime })$ è suriettiva, continua e aperta, allora $p$ è una mappa quoziente

Esempio di Mappa Quoziente

$S^1:=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2=1\}$
Sia $X=[0,1]$ dotato di ${\mathcal{E}}_{[0,1]}$ e sia
$p:[0,1]\to S^1\subseteq {\mathbb{R}}^2$ tale che $t⟼(\cos (2\pi t),\sin (2\pi t))=e^{2\pi it}$
Risulta che:

1. $p$ è continua, perché lo sono $\sin$ e $\cos$ e vale il Teorema sulle funzioni continue e topologia prodotto
2. $p$ è suriettiva per le proprietà di $\sin$ e $\cos$
3. $p$ è una mappa quoziente
4. $p$ non è aperta, infatti se $A=\left[0,\frac{1}{3}\right)$ che è aperto nel sottospazio ${\mathcal{E}}_{[0,1]}$, $p(A)=\left\{e^{2\pi it}|t\in \left[0,\frac{1}{3}\right)\right\}\notin {\mathcal{E}}_{S^1}$