Continuità delle funzioni composte a mappe quozienti

Proposizione

Siano $f:(X,\tau )\to (Y,{\tau }^{\prime })$ mappa quoziente e sia $g:(Y,{\tau }^{\prime })\to (Z,{\tau }^{\prime \prime })$
Allora $g$ è continua $⟺g\circ f$ è continua

$⟹$

Supponiamo $g$ continua, $f$ è mappa quoziente quindi è continua.
Dunque $g\circ f$ è continua

$⟸$

Supponiamo $g\circ f$ è continua. $f$ è continua perché mappa quoziente.
Sia $U\in {\tau }^{\prime \prime }$, dimostro che $g^{-1}(U)\in {\tau }^{\prime }$.
Sappiamo che $(g\circ f{)}^{-1}(U)\in \tau ⟹f^{-1}(g^{-1}(U))\in \tau ⟹g^{-1}(U)\in {\tau }^{\prime }$ poiché $f$ è mappa quoziente.