Caratterizzazione della Topologia Quoziente

Caratterizzazione della Topologia Quoziente

Sia $(X,\tau )$ uno spazio topologico e sia $\mathcal{R}$ una relazione di equivalenza.
Sia $\pi :X\to {}^X{/}_{\sim }$ una mappa quoziente e ${\tau }_{\pi }$ la relativa topologia quoziente.
Allora vale la seguente equivalenza

1. $A\in {\tau }_{\pi }$
2. $\exists B\in \tau$ con $B$ saturo$|\pi (B)=A$

$1.⟹2.$

Supponiamo $A\in {\tau }_{\pi }⟹{\pi }^{-1}(A)\in \tau$ (quindi ${\pi }^{-1}(A)$ è aperto)
${\pi }^{-1}(A)$ è saturo, inoltre $\pi$ è suriettiva, quindi per la caratterizzazione degli insiemi saturi per mappe quozienti vale che $A=\pi (\underset{\text{saturo}}{\underbrace{\pi {(}^{-1}A)}})$
Quindi $A$ è immagine di un aperto saturo.

$2.⟹1.$

Supponiamo che $\exists B\in \tau$ con $B$ saturo$|\pi (B)=A$
Dobbiamo dimostrare che ${\pi }^{-1}(A)\in \tau$
Osservo che $\pi$ è suriettiva e $B$ saturo, quindi $B={\pi }^{-1}(\pi (B))\in \tau ⟹{\pi }^{-1}(A)\in \tau ⟹A\in {\tau }_{\pi }$