Caratterizzazione degli Insiemi Saturi per Mappe Quozienti

Mappe quozienti

Se $\pi :X\to {}^X{/}_{\sim }$ tale che $x⟼\pi (x)=[x{]}_{\sim }$
Se $V\subseteq X$ vale la seguente equivalenza:

1. $V$ è $\mathcal{R}-$saturo
2. $V={\pi }^{-1}(\pi (V))$

$1.⟹2.$

Supponiamo che $V$ è $\mathcal{R}-$saturo.
Osserviamo che l’inclusione $V\subseteq {\pi }^{-1}(\pi (V))$ è sempre verificata.
Infatti se $v\in V⟹\pi (v)\in \pi (V)⟹v\in {\pi }^{-1}(\pi (V))$.
Sia $x\in {\pi }^{-1}(\pi (V))⟹\pi (x)\in \pi (V)⟹[x]\in \pi (V)$
Poiché $V$ è $\mathcal{R}-$saturo, allora $x\in V⟹{\pi }^{-1}(\pi (V))\subseteq V$

$2.⟹1.$

Supponiamo viceversa $V={\pi }^{-1}(\pi (V))$.
Sia $x\in V$ e $y\in X$ tali che $x\sim y$, dimostro che $y\in V$.
$V={\pi }^{-1}(\pi (V))=\bigcup _{b\in \pi (V)}[b]$
In altre parole, se $x\sim y⟹\pi (x)=\pi (y)$
Se $x\in V⟹\pi (x)\in \pi (V)\wedge \pi (x)=\pi (y)⟹\pi (y)\in \pi (V)⟹y\in V$